Ciao!
Come da oggetto, devo dimostrare il seguente limite usando la definizione, ma mi perdo proprio nell'ultimo passaggio.
$lim_{x -> + \infty} \frac{1}{\|x-2\|} = 0^+$
La definizione di limite in questo caso è $\forall \epsilon > 0, \exists N > 0 \| \forall x, x < -N, l \leq f(x) < l + \epsilon$
In questo caso specifico, dunque, parto considerando $0 \leq \frac{1}{\|x-2\|} < \epsilon$.
La prima disequazione è automaticamente soddisfatta per ogni $x$ nel dominio della funzione. Mi soffermo sulla seconda che, dopo averla riscritta come $\|x - 2\| > \frac{1}{\epsilon}$, divido nei due casi:
\( \displaystyle \begin{cases}
x > 2 \\
x > \frac{1}{\epsilon} + 2
\end{cases} \)
\( \displaystyle \begin{cases}
x < 2 \\
x < 2 - \frac{1}{\epsilon}
\end{cases} \)
Il primo sistema non mi interessa perché riguarda il caso in cui $x$ sia più grande di $2$, ma io sto facendo tendere $x$ a $-\infty$, quindi in direzione opposta.
Ho quindi ottenuto $x < 2 - \frac{1}{\epsilon}$. Se identifico $N = -(2 - \frac{1}{\epsilon})$, ottengo dunque $x < - N$.
Sembra tutto terminato, ma mi devo assicurare che questo $N$ sia positivo, ossia $-2 + \frac{1}{\epsilon} > 0$, ma questo è vero solo se $\epsilon < 1/2$.
Quest'ultimissimo passaggio mi crea un problema, perché sto di fatto dicendo che $epsilon$ non può essere scelto arbitrariamente.
Capisco il problema dal punto di vista grafico, perché la funzione ha un asintoto verticale in $x = 2$ e interseca le ordinate proprio in $1/2$. Quindi il problema sorge quando passo dal primo al secondo quadrante del piano cartesiano.
...
Insomma, i conti sono sicuro che sono corretti. Mi sfugge qualcosa dal punto di vista concettuale.
Potreste aiutarmi, per favore?