Dimostrare limite in eccesso con definizione

[amivaleo]

Ciao!

Come da oggetto, devo dimostrare il seguente limite usando la definizione, ma mi perdo proprio nell'ultimo passaggio.

$lim_{x -> + \infty} \frac{1}{\|x-2\|} = 0^+$

La definizione di limite in questo caso è $\forall \epsilon > 0, \exists N > 0 \| \forall x, x < -N, l \leq f(x) < l + \epsilon$

In questo caso specifico, dunque, parto considerando $0 \leq \frac{1}{\|x-2\|} < \epsilon$.

La prima disequazione è automaticamente soddisfatta per ogni $x$ nel dominio della funzione. Mi soffermo sulla seconda che, dopo averla riscritta come $\|x - 2\| > \frac{1}{\epsilon}$, divido nei due casi:

\( \displaystyle \begin{cases}
x > 2 \\
x > \frac{1}{\epsilon} + 2
\end{cases} \)

\( \displaystyle \begin{cases}
x < 2 \\
x < 2 - \frac{1}{\epsilon}
\end{cases} \)

Il primo sistema non mi interessa perché riguarda il caso in cui $x$ sia più grande di $2$, ma io sto facendo tendere $x$ a $-\infty$, quindi in direzione opposta.

Ho quindi ottenuto $x < 2 - \frac{1}{\epsilon}$. Se identifico $N = -(2 - \frac{1}{\epsilon})$, ottengo dunque $x < - N$.

Sembra tutto terminato, ma mi devo assicurare che questo $N$ sia positivo, ossia $-2 + \frac{1}{\epsilon} > 0$, ma questo è vero solo se $\epsilon < 1/2$.

Quest'ultimissimo passaggio mi crea un problema, perché sto di fatto dicendo che $epsilon$ non può essere scelto arbitrariamente.

Capisco il problema dal punto di vista grafico, perché la funzione ha un asintoto verticale in $x = 2$ e interseca le ordinate proprio in $1/2$. Quindi il problema sorge quando passo dal primo al secondo quadrante del piano cartesiano.

...

Insomma, i conti sono sicuro che sono corretti. Mi sfugge qualcosa dal punto di vista concettuale.

Potreste aiutarmi, per favore?

[Quinzio]

Siccome $x < 0$, togliere il modulo a $1/|x-2| < \epsilon$ significa

$1/(2-x) < \epsilon$

poi

$2-x > 1 / \epsilon$

$x < 2 - 1 / \epsilon$

Quindi

$N = 1 / \epsilon - 2$

arrotondato per eccesso.

Se viene negativo o zero, si prende $N = 1$.

[LucaSt]

Non capisco perchè utilizzi la definizione di limite per eccesso per \( x \rightarrow -\infty \) quando nel limite c'è \( x \rightarrow +\infty \), suppongo che sia un errore di trascrizione e che quindi il limite sia
$ lim_(x -> -\infty) \frac 1 \abs(x-2) =0^+$
Quindi in questo caso la definizione è come scrivi cioè:
$ AA\epsilon>0, EE N(\epsilon)>0|AAx<-N(\epsilon), l<=f(x)<l+\epsilon $
e come ottieni tu $ N(\epsilon)=\frac 1 \epsilon -2$
Ho evidenziato il fatto che N è funzione di $\epsilon$, cioè fissato $\epsilon$ è fissato anche il valore di N da prendere, in più il valore di $\epsilon$ è sì maggiore di zero, ma deve essere anche arbitrariamente piccolo, e in questo caso specifico minore di $ \frac 1 2 $.
Direi che la condizione ulteriore su $\epsilon$ non è dovuta al fatto che la funzione abbia un asintoto verticale ma è dovuta al fatto che N altrimenti è minore di 0 (quindi -N>0), il che comporta che la condizione applicata alla x è poco restrittiva (infatti deve tendere a $-\infty$) ciò è dovuto all'andamento della funzione inversa $ f^-1(x) $ .
Lo svolgimento mi sembra giusto.
Ciao!

[gugo82]

Scusa, ma basta osservare che:

$1/|x-2| < epsilon \ <=>\ |x-2|>1/epsilon $

e che, tendendo $x$ a $+oo$, possiamo supporre $x>2$ cosicché il valore assoluto al primo membro è inutile e la disequazione dà:

$x > 2 + 1/epsilon$

che individua l'intorno di $+oo$ che serve a soddisfare la definizione di limite.