Periodo di una funzione

[HowardRoark]

Potreste confermarmi che il periodo di $y= tan(pi/6 - x/2)$ è $2pi$? Sul libro c'è scritto $pi$ ma io non mi ci trovo:

$y=tanx$ ha periodo $pi$, per semplicità prendo $[-pi/2, pi/2]$. Per capire il periodo della funzione iniziale, valuto l'argomento della tangente in $-pi/2$ e $pi/2$:

1) $pi/6 - x/2 = -pi/2 => x_1 = 4/3pi$
2) $pi/6-x/2 = pi/2 => x_2= -2/3pi$.

Poiché $x_1<x_2$ e $f(x_1)>f(x_2)$, mi aspetto che la funzione sia monotona decrescente. Il suo periodo dovrebbe essere $4/3pi - (-2/3pi) = 2pi$, giusto? Vorrei solo esserne certo.

[Zero87]

Ciao HowardRoark.
Dire che sono arrugginito con la matematica non rende l'idea di quanto lo sono, ma magari due teste sono meglio di una. Da parte mia penso che posso ricorrere alla sottrazione degli angoli (nel caso della tangente), ovvero
$\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\beta)}$
per separare i due angoli che si sottraggono nell'argomento della tangente e avere un termine in cui compaiono solo dei $\tan(\frac{x}{2})$, da cui deduco anch'io un periodo di $2\pi$, proprio per via di quel 1/2 applicato alla x.

[HowardRoark]

Le formule di addizione e sottrazione degli angoli le devo ancora ripassare, però ad occhio dovrebbe funzionare anche il mio metodo per capire il periodo della funzione, cioè considerando il periodo della funzione "di base", y=tanx, e poi valutare l'argomento della funzione dell'esercizio in due estremi qualsiasi di un periodo (normalmente per la tangente scelgo $[-pi/2, pi/2]$).
Comunque ti ringrazio per la risposta, ho calcolato questo periodo anche con un tool online ed in effetti è propio $2pi$.

[Noodles]

In generale, se una funzione:

$y=f(x)$

ha periodo:

$T$

la funzione:

$y=f(m/nx)$

ha periodo:

$n/mT$

[sellacollesella]

ho calcolato questo periodo anche con un tool online ed in effetti è propio $2pi$

Per avere una conferma definitiva puoi applicare direttamente la definizione, quindi: \[
\tan\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right) - \tan\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x+T}{2}\right) = 0
\] da cui: \[
\tan\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right) - \tan\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}-\frac{T}{2}\right) = 0
\] ossia: \[
\tan\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right) - \frac{\tan\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right) - \tan\left(\frac{T}{2}\right)}{1+\tan\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right)\tan\left(\frac{T}{2}\right)} = 0
\] o ancora: \[
\frac{1+\tan^2\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right)}{1+\tan\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right)\tan\left(\frac{T}{2}\right)}\,\tan\left(\frac{T}{2}\right) = 0.
\] Affinché quest'ultima equazione risulti una identità è necessario che: \[
\tan\left(\frac{T}{2}\right) = 0
\quad \Leftrightarrow \quad
T = 2k\pi,
\quad \text{con} \; k \in \mathbb{Z}
\] da cui il periodo \(T>0\) minimo risulta essere \(\boxed{T = 2\pi}\).

[HowardRoark]

Lo potresti dimostrare? (riferito al messaggio di Noodles)
Io, con il metodo che ho descritto sopra, ho ricavato che il periodo di $y=A*sen(omegax+phi)$ è $(2pi)/omega$.
Infatti, $y=senx$ ha periodo $2pi$. Prendo per semplicità l'intervallo $[0,2pi]$ e valuto l'argomento della funzione sinusoidale di sopra negli estremi di tale intervallo:
$omegax+phi = 0 => x_1= (-phi)/omega$.
$omegax + phi = 2pi => x_2= (2pi-phi)/omega$.
Facendo la differenza fra l'estremo superiore e l'estremo inferiore dell'intervallo $[x_1,x_2]$ ottengo: $(2pi-phi)/omega - (-phi/omega) = (2pi)/omega$, in accordo con la formula del libro.
Mi interessa sapere se il mio procedimento sia valido in generale, perché è un modo molto semplice per valutare il periodo di una qualsiasi funzione sinusoidale, oltre ad essere una dimostrazione di "il periodo di una funzione del tipo $y=A*sen(omegax+phi)$ è $(2pi)/omega$.

[HowardRoark]

Per avere una conferma definitiva puoi applicare direttamente la definizione

La dimostrazione è molto chiara, l'unico problema è che prima devo ripassare le formule di addizione e sottrazione della tangente perché non le ricordo assolutamente.

[sellacollesella]

ho ricavato che il periodo di $y=A*sen(omegax+phi)$ è $(2pi)/omega$

Se \(\omega>0\) è corretto, d'altra parte applicando la definizione, si ha: \[
A\sin\left(\omega\,x+\phi\right) - A\sin\left(\omega\,(x+T)+\phi\right) = 0
\] da cui: \[
A\sin\left(\omega\,x+\phi\right) - A\sin\left(\omega\,x+\phi+\omega\,T\right) = 0
\] ossia: \[
A\sin\left(\omega\,x+\phi\right) - A\sin\left(\omega\,x+\phi\right)\cos(\omega\,T) - A\cos\left(\omega\,x+\phi\right)\sin(\omega\,T) = 0
\] o ancora: \[
A\sin\left(\omega\,x+\phi\right)\left(1-\cos(\omega\,T)\right) - A\cos\left(\omega\,x+\phi\right)\sin(\omega\,T) = 0.
\] Affinché quest'ultima equazione risulti una identità è necessario che: \[
\begin{cases}
\cos(\omega\,T) = 1 \\
\sin(\omega\,T) = 0 \\
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
T = \frac{2k\pi}{\omega}, \quad \text{con} \; k \in \mathbb{Z}
\] da cui il periodo \(T > 0\) minimo risulta essere \(\boxed{T = \frac{2\pi}{|\omega|}}\).

devo ripassare le formule di addizione e sottrazione della tangente

Nessun problema, la dimostrazione rimane accessibile anche per quando le ripasserai.

[Noodles]

Lo potresti dimostrare?

$f[m/n(x+n/mT)]=f(m/nx+T)=f(m/nx)$

[HowardRoark]

$f[m/n(x+n/mT)]=f(m/nx+T)=f(m/nx)$

Ma perché $f(m/nx+T) = f(m/nx)$? Per ipotesi hai che $f(x) = f(x+T)$ ma questo non mi sembra che giustifichi l'uguaglianza. La dimostrazione è chiara, ho solo una perplessità su questo passaggio.