Dubbio esercizio geometria

[Max321]

Buongiorno,

Ho un dubbio col seguente esercizio:

“Verifica che la parabola di equazione y=-x^2-4x non ha centro di simmetria”.

Ho disegnato la parabola e visto codominio, però non riesco a capire nè dimostrare perché non abbia centro di simmetria.

Ho provato a dimostrarlo applicando le classiche formule del centro di simmetria ipotizzando un centro generico C(xm,ym) e ho sostituito le formule nella parabola iniziale ma arrivo alla fine e mi blocco.

Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà

[Noodles]

Se avesse un centro di simmetria, trasformando ogni suo punto:

$(x,y) rarr (barx,bary)$

$\{(barx=2x_c-x),(bary=2y_c-y):}$

$\{(x=2x_c-barx),(y=2y_c-bary):}$

si dovrebbe ottenere la stessa equazione nelle coordinate:

$(barx,bary)$

Ebbene, poichè:

$2y_c-bary=-(2x_c-barx)^2-4(2x_c-barx) rarr$

$rarr bary=barx^2-4(x_c+1)barx+4x_c^2+8x_c+2y_c$

basta e avanza osservare che si ottiene una parabola avente concavità opposta.

[Max321]

Ti ringrazio della risposta, ma perché avere la concavità opposta esclude la presenza del centro di simmetria? Ad esempio la parabola x^2-x+3 ha centro di simmetria in (0,4) e la simmetria ha concavità verso il basso.
Tra l’altro la simmetria centrale delle curve nel piano, non corrisponde proprio a una rotazione di 180 gradi rispetto al centro di simmetria? Mi viene in mente l’iperbole.

Forse mi sta sfuggendo qualcosa, scusami le domande banali forse

[HowardRoark]

Ciao, le equazioni della simmetria centrale sono:

$S: {(x'=2a-x), (y'=2b-y) :}$, dove il centro di simmetria ha coordinate $C(a,b)$, $P(x,y)$ è il punto da trasformare e $P'(x',y')$ il trasformato.
Ricavo $x$ ed $y$ in funzione di $x'$ ed $y'$ e sostituisco nella parabola:

$ {(x=2a-x'), (y=2b-y') :}$
L'equazione diventa:
$2b-y' = -(2a-x')^2 - 4(2a-x') => y'=x'^2-4x'(a+1)+4a^2+8a+2b=0$.

Quindi, applicando la simmetria di centro $C(a,b)$ ad un punto appartenente a $y=-x^2+4x$, questo viene trasformato in un punto $P'(x',y')$ appartenente a $y'=x'^2-4x'(a+1)+4a^2+8a+2b=0$. Poiché la prima e la seconda curva sono diverse per ogni possibile centro che puoi considerare, la parabola non ha centro di simmetria.
Ma è qualcosa che vale in generale: nessuna parabola ha centro di simmetria (ripeto: se lo avesse implicherebbe che, preso $P$ appartenente alla parabola, il trasformato $P'$ apparterrebbe ancora alla parabola), ma ha un asse di simmetria, che è la retta passante per il vertice perpendicolare alla direttrice.

[HowardRoark]

ma perché avere la concavità opposta esclude la presenza del centro di simmetria?

Non è la concavità ad escludere il centro di simmetria, è proprio la parabola che non ha centro di simmetria, perché se lo avesse, preso un punto $P$ appartenente alla parabola il trasformato $P'$ apparterrebbe ancora alla parabola, ma non esiste alcun centro che soddisfi quella proprietà. Prova a verificare che la parabola del tuo esempio ha un asse di simmetria pari a $x=-2$: ti accorgerai che sia $P$ appartenente alla parabola, sia il trasformato, continuano ad appartenere alla parabola.