Scrivere a*sen(alpha)+b*cos(beta) in termini solo di seno o coseno

[HowardRoark]

Considero $f(x)=4cos(x)+3sen(x)+8$ e la scrivo sia nella forma $f(x)= 4cos(x)+3sen(x)+8 = F cos (x-alpha) + 8$ che nella forma $f(x)=4cos(x)+3sen(x)+8 = F sen (x+beta) +8$.

Pongo $F=sqrt(a^2+b^2)$, $a=3$(coefficiente del seno) e $b=4$ (coefficiente del coseno).
In questo caso $F=5$, e poiché $(a/F)^2 + (b/F)^2=1$, posso costruire un triangolo rettangolo con cateti $a/F$, $b/F$, ipotenusa $1$ ed angoli acuti $alpha$ e $beta$

Allora, da $f(x) = 4cos(x)+3sen(x)+8 = 5*(4/5 cosx + 3/5 senx) +8$, considerando il triangolo rettangolo di prima, posso porre $cos(alpha) = 4/5$ e $sen(alpha)=3/5$ per riscrivere così l'espressione: $f(x)=5*(cos(alpha)cosx + sen(alpha)sen(x))+8 = 5cos(x-alpha) + 8$.

Il mio dubbio viene ora: se volessi riscrivere l'espressione come $F sen (x+beta) +8$, dovrei considerare l'altro angolo acuto $beta$ dello stesso triangolo rettangolo di prima e farne il seno e il coseno (che saranno rispettivamente il coseno e il seno dell'angolo acuto opposto)? In questo caso quindi sarebbe $alpha+beta=90°$?
Vorrei assicurarmi di aver capito questo metodo.

[sellacollesella]

Data la funzione \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) di legge: \[
f(x) := 4\cos(x) + 3\sin(x) + 8
\] possiamo riscriverla come: \[
f(x) = \sqrt{4^2+3^2}\left(\frac{4}{\sqrt{4^2+3^2}}\,\cos(x) + \frac{3}{\sqrt{4^2+3^2}}\,\sin(x)\right) + 8
\] e considerando un angolo \(\alpha \in (-\pi,\pi]\) tale che: \[
\cos(\alpha) = \frac{4}{5}, \quad \quad \quad \sin(\alpha) = \frac{3}{5}
\] ne consegue che: \[
f(x) = 5\left(\cos(\alpha)\cos(x) + \sin(\alpha)\sin(x)\right) + 8 = 5\cos(x-\alpha) + 8.
\] D'altro canto, ponendo \(\alpha = \frac{\pi}{2}-\beta\), si ottiene: \[
f(x) = 5\cos\left(x+\beta-\frac{\pi}{2}\right) + 8 = 5\sin\left(x+\beta\right) + 8
\] e quindi anche quest'altra forma va più che bene.

[HowardRoark]

Stesso mio ragionamento, solo che io ho considerato un triangolo rettangolo e quindi $0<alpha<pi/2$. Il bello di questo procedimento è che per passare da una formula del tipo $y=F(senx+ beta) + k$ a $y=F(cosx-alpha) + k$ mi basta semplicemente considerare l'angolo acuto opposto a quello precedente, e quindi se $alpha$ e $beta$ sono due angoli acuti dello stesso triangolo rettangolo, $sen(alpha)=cos(beta)$ e $cos(alpha)=sen(beta)$.