Periodo di un prodotto di funzioni periodiche

[HowardRoark]

Vorrei calcolare il periodo di $y(t)= 2A * cos((omega_1+omega_2)/2t) * cos((omega_1-omega_2)/2t)$. Su internet ho letto che il periodo del prodotto di due funzioni periodiche, di periodo $T_1$ e $T_2$ è il minimo comune multiplo fra $T_1$ e $T_2$. Ma $T_1=(4pi)/(omega_1+omega_2)$ e $T_2 = (4pi)/(omega_1-omega_2)$, ed io il minimo comune multiplo lo ricordo solo tra numeri interi o al massimo tra polinomi: come dovrei calcolare il minimo comune multiplo di quelle due espressioni?

[mgrau]

Se il rapporto dei periodi è un numero razionale il periodo comune esiste, se no, no (come ha scoperto Pitagora un po' di tempo fa)

[sellacollesella]

Su internet ho letto che il periodo del prodotto di due funzioni periodiche, di periodo $ T_1 $ e $ T_2 $ è il minimo comune multiplo fra $ T_1 $ e $ T_2 $.

Ammesso che esistano dei multipli interi comuni di \(T_1\), \(T_2\), in tal modo si ottiene un periodo della funzione prodotto, non necessariamente il più piccolo periodo positivo, che solitamente si definisce come il periodo.

Ad esempio, se consideriamo \(\sin(x)\) e \(\cos(3x)\) è evidente che abbiano rispettivamente periodo \(2\pi\) e \(2\pi/3\), da cui se ne deduce che un periodo del loro prodotto sia \(\text{m.c.m.}(6\pi/3,2\pi/3) = \frac{\pi}{3}\,\text{m.c.m.}(6,2) = 2\pi\), ma non è il più piccolo, dato che applicando la definizione, unica strada sicura in questo ambito, risulta essere \(\pi\).

[HowardRoark]

Ammesso che esistano dei multipli interi comuni di \(T_1\), \(T_2\), in tal modo si ottiene un periodo della funzione prodotto, non necessariamente il più piccolo periodo positivo, che solitamente si definisce come il periodo.

Ma il multiplo di un numero razionale si definisce come il multiplo di un numero intero? In questo caso: un multiplo di un numero razionale $m/n$ sarebbe un numero ottenuto moltiplicando $m/n$ per un naturale. Quindi, ad esempio, multipli di $1/4$ sono $1/2, 3/4, 1, 5/4$ e così via, è corretto?

Ad esempio, se consideriamo \(\sin(x)\) e \(\cos(3x)\) è evidente che abbiano rispettivamente periodo \(2\pi\) e \(2\pi/3\), da cui se ne deduce che un periodo del loro prodotto sia \(\text{m.c.m.}(6\pi/3,2\pi/3) = \frac{\pi}{3}\,\text{m.c.m.}(6,2) = 2\pi\), ma non è il più piccolo, dato che applicando la definizione, unica strada sicura in questo ambito, risulta essere \(\pi\).

Se applicando il minimo comune multiplo dei due periodi delle funzioni (in questo caso tu hai raccolto a fattore comune, quindi ti sei ricondotto ad un mcm tra interi) ottieni un periodo che non è il più piccolo (e quind non è il periodo), come si fa a trovare il periodo della funzione considerata? Come si poteva dedurre che il periodo di $sin(x)*cos(3x)$ fosse $pi$ e non $2pi$?

[sellacollesella]

Per quel poco che so, il concetto di minimo comune multiplo è ben definito solo tra numeri interi. Pertanto, ogni qual volta si è chiamati a calcolarlo tra numeri razionali o addirittura reali l'unica possibilità è quella di raccogliere a fattor comune tutto quello che è possibile e poi procedere tra coppie di numeri interi. Qualora ciò non fosse possibile il minimo comune multiplo non esiste e quindi la suddetta regoletta fallisce.

Inoltre, anche nei casi in cui funziona, ad esempio quello che ho riportato, fornisce solo un periodo, che in molti contesti è più che sufficiente come informazione. Se, invece, si è interessati al periodo positivo minimo, quello che canonicamente è indicato come il periodo, allora quella regoletta non ci dà alcuna sicurezza in merito, garanzia che invece continua a porgere la definizione, seppur brutta e puzzolente.

[HowardRoark]

garanzia che invece continua a porgere la definizione, seppur brutta e puzzolente.

Se fosse un metodo semplice, seppur lungo, mi andrebbe pure bene

$cos(3x)*sen(x) = cos(3x+2kpi) * sen(x+2kpi).$ Pongo $beta = 3x+ 2kpi$ e $alpha = x+2kpi$.
Per le formule di prostaferesi ho che:
$cos(beta)*sen(alpha)= 1/2[sen(alpha+beta) + sen(alpha-beta)] = 1/2[sen(4x+2kpi) + sen(-2x)]=1/2[sen[2(2x+kpi)] - sen (2x)]$.
Da qui come faccio a dedurre il periodo di questa funzione?

[sellacollesella]

Se esiste, siamo interessati al più piccolo \(T>0\) tale per cui: \[
\sin(x)\cos(3x) - \sin(x+T)\cos(3x+3T) = 0
\quad \quad \forall \, x \in \mathbb{R}.
\] Pertanto, applicando le formule di addizione di seno e coseno, si ha: \[
\sin(x)\cos(3x) - [\sin(x)\cos(T) + \cos(x)\sin(T)][\cos(3x)\cos(3T)-\sin(3x)\sin(3T)] = 0
\] ossia, raggruppando nel seguente modo: \[\small
(1-\cos(T)\cos(3T))\sin(x)\cos(3x) + \cos(T)\sin(3T)\sin(x)\sin(3x) - \sin(T)\cos(x)\cos(3x+3T) = 0
\] affinché tale uguaglianza sia una identità deve essere: \[
\begin{cases}
1-\cos(T)\cos(3T) = 0 \\
\cos(T)\sin(3T) = 0 \\
\sin(T) = 0
\end{cases}
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
T = 0 + 2k\pi \; \vee \; T = \pi + 2k\pi,
\quad k \in \mathbb{Z}
\] da cui il più piccolo \(T>0\) risulta essere \(\boxed{T = \pi}\), come volevasi dimostrare.

[HowardRoark]

La prossima volta allora applicherò il metodo che hai illustrato qui.
Gentilissimo come al solito, grazie mille!