Rotazione con centro qualsiasi

[HowardRoark]

Quindi è il punto $O'=(a,b)$ che fai coincidere con l'origine (io pensavo fosse il contrario, cioè che facessi sovrapporre l'origine $O$ con $(a,b)$ e poi riportassi indietro $O$)

[sellacollesella]

La tua scrivania sia il piano e due matite incollate perpendicolarmente ad una estremità sia il sistema di riferimento \(Oxy\) giacente in tale piano. Questo sistema di riferimento inizialmente lo fissi a piacere e a seconda di come lo fissi i punti della scrivania avranno determinate coordinate. In particolare, un punto a te caro lo evidenzi in rosso; siano \((a,b)\) le coordinate in tale sistema di riferimento che fino ad ora è fisso.

Quindi, trasli tale sistema di riferimento di vettore \((a,b)\), ossia il nuovo sistema di riferimento \(O'x'y'\) avrà gli assi con stessa direzione e stesso verso rispetto ai precedenti, ma l'origine \(O'\) sarà nel punto evidenziato in rosso che non avrà più coordinate \((a,b)\) bensì \((0,0)\). Questo porta a scrivere \(x'=x-a\) e \(y'=y-b\).

[HowardRoark]

Ho sviluppato un esempio su un foglio e in effetti componendo le tue trasformazioni la cosa funziona: sono partito da un riferimento $Oxy$, ho preso un punto $(a,b)$, centro della mia rotazione e un punto $P$ del piano da far ruotare con rotazione di centro $(a,b)$. Però se $a$ e $b$ sono due numeri positivi, se faccio $\{(x'=x-a), (y'=y-b) :}$ io sto traslando tutti i punti del piano di $(-a,-b)$, non di $(a,b)$. Detto questo, con il ragionamento mi trovo: dopo aver traslato $P$ di $(-a,-b)$, lo faccio ruotare con un rotazione di centro $O'=(0,0)$, ottenendo $P''$, e infine traslo $P''$ di $(a,b)$, ottenendo $P'''$, che risulta ruotato di una rotazione con centro in $(a,b)$.

[axpgn]

Quindi, trasli tale sistema di riferimento di vettore \((a,b)\),

Sì ma puoi anche ruotare la scrivania

[HowardRoark]

Ad esempio, se traslo, $y=x^2$ di $(2,3)$, le equazioni sono $\{(x'=x+2), (y'=y+3) :}$ e non $\{(x'=x-2), (y'=y-3) :}$. Per questo ho fatto confusione.

[sellacollesella]

Come suggerito da axpgn possiamo anche muovere la scrivania, in quel caso invece è richiesto di traslare la parabola di vettore \((2,3)\), che equivale a traslare \(Oxy\) di vettore \((-2,-3)\). Insomma, bisogna accordarsi.

[HowardRoark]

Comunque credo di aver capito il tuo punto di vista: io quando traslo una curva penso sempre che gli assi cartesiani siano fissi, trasla solo la curva (nel caso di prima di $(2,3)$. Tu invece è come se facessi allontanare gli assi di $(-2,-3)$, e in effetti ottieni un risultato equivalente. Secondo me stiamo dicendo la stessa cosa ma probabilmente tu la dici in modo più corretto.

[HowardRoark]

Però almeno sono d'accordo sul fatto che le equazioni di una rotazione di angolo $alpha$ e centro $(a,b)$ siano quelle; se poi quando devi traslare un punto di un vettore con componenti $(a,b)$ mi dici che fai traslare $Oxy$ di $(-a,-b)$, oppure che prendi $P(x,y)$ e fai $P'(x+a, y+b)$, penso siano modi equivalenti di vedere la cosa. Io trovo più intuitivo il secondo comunque.
Ti ringrazio per la pazienza e per la disponibilità!

[sellacollesella]

Non c'è un modo giusto o sbagliato in assoluto, sono due facce della stessa medaglia. La cosa importante, come sempre, è quella di capire come venirne fuori, che in questo caso coincide con il disegnare su un foglio e vedere come mutano le coordinate. Poi, il tutto si aggiusta da solo. Inoltre, la cosa importante è imparare a comporre le varie trasformazioni elementari, dato che quelle bastano e avanzano per ottenere tutte le altre. Naturalmente, se per qualche motivo poi dovessi applicare la rotazione attorno ad un generico punto cento volte al giorno è chiaro che finirai per imparare a memoria le formulazioni risultanti. Buono studio, ciao.