Esercizio simmetria assiale

[Max321]

Buonasera a tutti,

Prima di tutto ci tenevo a ringraziarvi per il servizio che offrite e la vostra professionalità nell’aiutare tutti noi.

Mi sono trovato davanti questo esercizio e sinceramente sono un po’ bloccato nel risolverlo.

“Per ognuna delle seguenti coppie di rette corrispondenti in una simmetria di asse parallelo all’asse y, scrivi l’equazione dell’asse e le equazioni della simmetria.

r:y=-x+5 e r’:y=x+7 “

Per entrambe ho calcolato la retta simmetrica rispetto all’asse y e ho ottenuto

r:y=x+5 e r’=-x+7

Inoltre per entrambe inoltre l’equazione dell’asse è x=0.

Mi sta sfuggendo qualcosa o è corretto?

[sellacollesella]

Comincia con lo scrivere le equazioni di una generica simmetria di asse parallelo a quello delle y.

[Max321]

Ciao e grazie per la risposta.
Sí l’ho fatto e poi ottengo le rette di cui equazioni scritte nel post su.
A questo punto mi chiede di scrivere l'equazione dell’asse.

Questo è per entrambe x=0 giusto?

[sellacollesella]

L'asse di simmetria richiesto è parallelo all'asse y, ma non è l'asse y, ossia \(x=0\). Per questo io partirei con lo scrivere le equazioni di una generica simmetria di asse parallelo a quello delle y, quindi sostituirei al posto di \(x\), \(y\) di \(r\) le rispettive espressioni e cercherei di capire sotto quali condizioni si ottiene l'equazione di \(r'\).

[Max321]

Ho rivisto la teoria e credo di aver capito, confermatemi se è corretto o meno.

Considerato che nel primo casa la retta simmetrica a r:y=-x+5 è y=x+5 l’asse di simmetria è a x=5/2?
Invece per l’altra retta che ha simmetrica y=-x+7 l’asse è a x=7/2?

Mi sembra di aver capito in generale che data la simmetria rispetto a un asse parallelo all’asse y abbiamo che

x’=-x+2c a sistema con
y’=y

L’asse si trova a x=c ossia alla metà di 2c

È corretto quanto ho detto?

[sellacollesella]

Come hai giustamente scritto, le equazioni di una simmetria rispetto ad un asse \(x=c\) sono: \[
\begin{cases}
x' = 2c - x \\
y' = y
\end{cases}
\] ossia, invertendole: \[
\begin{cases}
x = 2c - x' \\
y = y'
\end{cases}.
\] Fin qui non ci piove, d'altronde era sufficiente copiarle dal libro, non è che sia così difficile.


Ora bisogna capire cosa fare e a me pare che tu faccia confusione. Infatti, l'esercizio ti assegna: \[
r \,:\, y = -x+5,
\quad \quad \quad
r' \,:\, y = x+7
\] e ti chiede quale sia l'equazione dell'asse \(x=c\) che ti permette di ottenere \(r'\) a partire da \(r\).


Pertanto, non rimane che sostituire nell'equazione di \(r\) le rispettive espressioni: \[
(y') = -(2c - x') + 5
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad
y' = x' + (5 - 2c)
\] ed osservare che quest'ultima coincide con \(r'\) se e soltanto se: \[
c = -1\,.
\] Da ciò si può concludere che:

• le equazioni della simmetria in esame sono: \(x' = -2-x\), \(y'=y\);
  
  
• l'asse di simmetria ha equazione cartesiana: \(x=-1\).

Trattandosi di trasformazioni geometriche, devono avere un riscontro grafico:

da cui è facile osservare che specchiando \(\color{red}{r}\) rispetto a \(\color{green}{x=-1}\) si ottiene \(\color{blue}{r'}\).

[Max321]

Cavolo non avevo proprio compreso l’esercizio. Mi sa mi rivedrò la teoria nuovamente perché qualcosa qui mi è sfuggito.

Grazie per avermi dedicato tempo e pazienza. Sei stato gentilissimo

[sellacollesella]

Prego! Sì, prima di tutto vedi di aver ben chiara la teoria, per questo all'inizio ti avevo chiesto di scrivere le equazioni generiche della simmetria. Poi tocca pure fare un certo numero di esercizi di vario tipo per capire i vari modi in cui può essere applicata. In tal senso, gli esercizi guidati che si trovano nei libri aiutano molto.