Funzione con parametri: aiuto!!

[rollitata]

Buonasera a tutti e scusate se mi permetto di chiedere un aiuto su un problema probabilmente banale ma di cui non riesco a trovare la soluzione:
"Determinare i parametri reali a, b, c in modo che la funzione $ (ax^2+b)/(x^2+c)=8 $ ammetta asintoto orizzontale di equazione $ y=8 $ e sia tale che $ f''(-2)=0 $ e $ f'(1)=1 $
Inoltre, dovrei scrivere le equazioni delle rette tangenti alla curva nei suoi punti A e B rispettivamente di ascissa -2 e 2.
Allora io ho iniziato così:
sapendo che la funzione ha un asintoto orizzontale $ y=8 $ ho calcolato:
$ lim xrarr oo $ di $ (ax^2+b)/(x^2+c)=8 $ da cui $ a=8 $
Poi però non so più come fare a trovare gli altri due parametri b e c considerate le derivate.
Ammesso che quello che ho fatto sia giusto se mi date una dritta ve ne sarei grata.
Penso che, una volta trovati i tre parametri, per trovare le rette tangenti dovrei mettere a sistema la funzione con le rette $ x=-2 $ e $ x=2 $ .
Ringrazio anticipatamente per ogni eventuale chiarimento.

[rollitata]

scusate quando ho scritto la funzione mi è scappato un $ =8 $ ma non c'entra nulla

[sellacollesella]

Determinare i parametri reali $a$, $b$, $c$ in modo che la funzione $ f(x) = (ax^2+b)/(x^2+c) $ ammetta asintoto orizzontale di equazione $ y=8 $ e sia tale che $ f''(-2)=0 $ e $ f'(1)=1 $. Inoltre, dovrei scrivere le equazioni delle rette tangenti alla curva nei suoi punti A e B rispettivamente di ascissa -2 e 2.

Ok.

Sapendo che la funzione ha un asintoto orizzontale $ y=8 $ ho calcolato:
$ lim_{xrarr oo} (ax^2+b)/(x^2+c)=8 $ da cui $ a=8 $.

Ok.

Poi però non so più come fare a trovare gli altri due parametri b e c considerate le derivate.

Devi calcolare la derivata prima, sostituire \(1\) ad \(x\), quindi uguagliarla a \(1\). Analogamente, devi calcolare la derivata seconda, sostituire \(-2\) ad \(x\), quindi uguagliarla a \(0\). Così facendo, otterrai un sistema di due equazioni in due incognite, ossia \(b\) e \(c\), che sicuramente saprai risolvere.

Penso che, una volta trovati i tre parametri, per trovare le rette tangenti dovrei mettere a sistema la funzione con le rette $ x=-2 $ e $ x=2 $ .

No, la retta tangente al grafico di \(y = f(x)\) in un suo punto \((x_0,f(x_0))\) ha equazione cartesiana \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\). Nello specifico, richiedono di assumere prima \(x_0=-2\) e poi \(x_0=2\).

[rollitata]

Intanto ringrazio per la risposta.
Per quello che ho capito dovrei: $ [(16x*1)(1+c)-(8+b)*1]/[(1+c)]^2=1 $
giusto?

[sellacollesella]

Se a numeratore togliamo la \(x\) e l'ultima moltiplicazione è per \(2\) allora sì, è giusto.

[rollitata]

Ok, adesso ho capito.
Ti ringrazio veramente tanto

[rollitata]

Scusami ancora, diciamo che ho capito la tua dritta solo che mi perdo nei passaggi.
Se hai un attimo e un po' di pazienza, saresti così gentile da farmi vedere come imposti il sistema?
Te ne sarei grata.....

[sellacollesella]

Quando ci si perde in un problema il trucco è dividerlo in ulteriori problemi più piccoli, così da concentrare l'attenzione su porzioni meno dispersive. Pertanto, ti chiederei di calcolare la derivata prima e poi la derivata seconda, quindi di scriverle qui nel forum per vedere se sono corrette. Il consiglio è quello di semplificare la derivata prima il più possibile e solo dopo procedere con il calcolo della derivata seconda, altrimenti è il caos.

[rollitata]

Allora, vediamo dove sbaglio:
calcolo la derivata prima (tenendo conto di $ a=8 $ e, al momento, senza sostituire 1 alla x).
se non ho sbagliato i calcoli:
$ (8x^2+b)/(x^2+c)=[16x(x^2+c)-(8x^2+b)(2x)]/[(x^2+c)]^2 $
$ = [16x^3+16xc-(16x^3+2bx)]/[(x^2+c)]^2 = (16xc-2bx)/[(x^2+c)]^2 $ $
= [2x(8c-b)]/[(x2+c)]^2 $
Ammesso che la derivata sia esatta, poi dovrei sostituire $ x=1 $ e uguagliarla a 1

[rollitata]

e per la derivata seconda?
Sto facendo un pò di confusione...