Conseguenze integrale nullo

[Llep]

Devo segnalare per ciascuna affermazione se questa sia vera o falsa, su queste due sono in dubbio.

"Poni f(x) continua. Se $ int_(a)^(b) f(x) dx =0 $ allora sicuramente puoi affermare che:

1. a=b
2. a=-b e f(x) è dispari"

Per la prima mi verrebbe da dire vero perchè se l'intervallo lo si riduce al un solo punto l'area sottesa al grafico è nulla, ma non sono tranquillo nell'affermarlo.
Per la seconda mi verrebbe da dire vero anche per questa, perchè le sue porzioni di grafico si bilancerebbero annullandosi.

[gugo82]

Nessuna delle due è "sicuramente" vera.

Il controesempio si trova facile... Prova a pensare un po' a qualche funzione elementare di tua conoscenza.

[LucaSt]

Sono tutte e due false, infatti scegliendo ad esempio $ f(x)=x-1 $ , l'integrale tra a=0 e b=2 è 0 ma non si verificano le condizioni elencate ( $ a!= b$), ($a!=-b $)

[Llep]

Ok, vi ringrazio entrambi.
Ora però allora ho anche dubbi sulle altre affermazioni che avevo valutato, sempre con le stesse premesse:

i) f(x)=0 ----> Falsa perchè non per forza se l'integrale è nullo, allora la funzione di partenza lo è (es. funz dispari)
ii) b=0 e f(x) è pari -----> Falsa perchè non trovo correlazione che lega l'integrale nullo con il fatto che un suo estremo sia nullo...
iii) b=0 e f(x) è dispari ----> Falsa come sopra

Anche queste sono tutte false?

[gugo82]

Ma sì, sono tutte false... Ma da dove le hai prese delle domande così?

Te ne pongo due più interessanti:

• cosa puoi dire su $f:[a,b] -> RR$ (per semplicità, supponi sia continua in $[a,b]$) se sai che $int_a^b |f(x)|"d"x =0$?
  
  
• cosa puoi dire su $f:[a,b] -> RR$ (per semplicità, supponi sia continua in $[a,b]$) se sai che $int_alpha^beta f(x)"d"x = 0$ per ogni intervallo $[alpha, beta] sube [a,b]$?