Dubbio disequazione esponenziale base inferiore a 1

[Marco1005]

Salve a tutti, ho un dubbio sulla risoluzione di questo esercizio

$34(3/5)^(x)<25*(9/25)^x+9$

Riscrivo $9/25$ come $(3/5)^(2x)$

Introduco una variabile ausiliaria imponendo $(3/5)^x=t$

Riscrivo pertanto

$34t – 25t^2-9<0$

Sapendo che la base dell’esponenziale è $0<a<1$ inverto il segno della disequazione.

$34t – 25t^2-9>0$

le due soluzioni sono $t_1=9/25$ e $t_2=1$

impongo $t_1=(3/5)^x$ da cui ottengo quindi $9/25=(3/5)^x$
impongo $t_2=(3/5)^x$ da cui ottengo quindi $1=(3/5)^x$

nel primo caso ho $x=2$
nel secondo caso ho $x=0$

a questo punto essendo il segno discorde dovrei prendere i valori compresi tra $t_1$ e $t_2$ ma il risultato dell'esercizio è $x<0$ v $x>2$
questo è il risultato che otterrei non invertendo il segno, dove sto sbagliando?
Grazie mille

[HowardRoark]

Sapendo che la base dell’esponenziale è $0<a<1$ inverto il segno della disequazione.

$34t – 25t^2-9>0$

Io non sono d'accordo su questo punto: andando ad intuito, il verso della disequazione cambia quando passi dalla disequazione esponenziale a quella degli esponenti. Ad esempio, $(1/2)^5<(1/2)^4 <=> 5>4$. Il ragionamento alla base è questo.
Tu hai semplicemente "mascherato" l'esponenziale con un'incognita ausiliaria, perché il verso della disequazione dovrebbe cambiare?

[Marco1005]

Io non sono d'accordo su questo punto: andando ad intuito, il verso della disequazione cambia quando passi dalla disequazione esponenziale a quella degli esponenti. Ad esempio, $(1/2)^5<(1/2)^4 <=> 5>4$. Il ragionamento alla base è questo.
Tu hai semplicemente "mascherato" l'esponenziale con un'incognita ausiliaria, perché il verso della disequazione dovrebbe cambiare?

Però alla fine, risolvendo con una variabile ausiliaria, passo dalla disequazione esponenziale a quella degli esponenti, perchè arrivo ad avere un range di soluzione a cui cambio il verso in quanto la base è compresa tra zero e 1. Nel tuo esempio passi alla risoluzione e inverti il segno, nel mio esempio idem no? passo alla risoluzione con variabile ausiliaria e poi inverto il segno.

[sellacollesella]

Per risolvere la disequazione: \[
34\left(\frac{3}{5}\right)^x < 25\left(\frac{3}{5}\right)^{2x} + 9
\] hai ben pensato di sostituire \(t = \left(\frac{3}{5}\right)^x\) ottenendo: \[
34t < 25t^2 + 9
\] ossia la seguente disequazione polinomiale: \[
25t^2 - 34t + 9 > 0
\] che in quanto tale se ne frega della sostituzione posta a monte ed è verificata per: \[
t < \frac{9}{25} \; \vee \; t > 1.
\] Siccome ora la variabile ausiliaria non è più d'aiuto, ti ricorderai della sostituzione, ecc.

[Marco1005]

Per risolvere la disequazione: \[
34\left(\frac{3}{5}\right)^x < 25\left(\frac{3}{5}\right)^{2x} + 9
\] hai ben pensato di sostituire \(t = \left(\frac{3}{5}\right)^x\) ottenendo: \[
34t < 25t^2 + 9
\] ossia la seguente disequazione polinomiale: \[
25t^2 - 34t + 9 > 0
\] che in quanto tale se ne frega della sostituzione posta a monte ed è verificata per: \[
t < \frac{9}{25} \; \vee \; t > 1.
\] Siccome ora la variabile ausiliaria non è più d'aiuto, ti ricorderai della sostituzione, ecc.

in questo caso però sarebbe $t<2$ v $x>0$ mentre la soluzione è il contrario, ecco perchè invertivo i segni
se $(3/5)^x=9/25$ significa che il $t_1=2$ e il $t_2=0$
sto facendo un pò di confusione

[sellacollesella]

in questo caso però sarebbe $t<2$ v $x>0$

No, in quanto la soluzione in \(t\) sopra scritta: \[
t < \frac{9}{25} \; \vee \; t > 1
\] per via della sostituzione fatta a monte equivale a scrivere: \[
\left(\frac{3}{5}\right)^x < \frac{9}{25} \; \vee \; \left(\frac{3}{5}\right)^x > 1
\] che se risolte correttamente portano alla soluzione del libro.

[HowardRoark]

Io non sono d'accordo su questo punto: andando ad intuito, il verso della disequazione cambia quando passi dalla disequazione esponenziale a quella degli esponenti. Ad esempio, $(1/2)^5<(1/2)^4 <=> 5>4$. Il ragionamento alla base è questo.
Tu hai semplicemente "mascherato" l'esponenziale con un'incognita ausiliaria, perché il verso della disequazione dovrebbe cambiare?

Però alla fine, risolvendo con una variabile ausiliaria, passo dalla disequazione esponenziale a quella degli esponenti.

Parti da $-25t^2+34t-9<0 => 25t^2-34t+9>0$. Gli zeri dell'equazione associata sono $t_1=9/25$ e $t_2=1$, quindi hai che $t<9/25$ o $t>1$

Sostituisci $t=(3/5)^x$
Devi risolvere:
$ \{((3/5)^x<(3/5)^2), ((3/5)^x>(3/5)^0) :}$.

Da qui inverti il verso delle disequazioni e ottieni $x>2$, $x<0$

[HowardRoark]

Comunque per non fare confusione io ti consiglio di ricondurti sempre ad una disequazione del tipo $ax^2+bx+c >0$ (col verso positivo), perché se le risolvi anche col verso negativo c'è più probabilità di confusione. Ad esempio, per risolvere questi esercizi spesso memorizziamo "se la parabola ha concavità verso il basso le soluzioni sono all'interno dell'intervallo delle radici, se ce l'ha verso l'alto le soluzioni sono esterne all'intervallo", però questo ovviamente vale solo se devi risolvere $ax^2+bx+c >0$, altrimenti è il contrario.

[sellacollesella]

Attenzione che questo:

hai che $t<9/25$ o $t>1$

non corrisponde a questo:

Sostituisci $t=(3/5)^x$
Devi risolvere:
$ \{((3/5)^x<(3/5)^2), ((3/5)^x>(3/5)^0) :}$

Nel primo caso hai una unione, mentre nel secondo una intersezione.

[HowardRoark]

Hai ragione