$arccos(x+1) < 1$

[DeltaEpsilon]

Salve.
Mi sono imbattuto in una lettura che riporta il seguente passaggio:

$arccos(x+1) < 1$
$x+1 > cos(1)$
Dove abbiamo usato che la funzione arcocoseno è strettamente decrescente nel suo insieme di definizione.

Volevo comprendere meglio la frase riportata.
Innanzitutto, data la disequazione di partenza, quella che noi applichiamo ad ambo i membri è la funzione coseno.
Il fatto che la disequazione cambi verso è quindi dovuto all'applicazione di tale funzione, che è decrescente in $[0, \pi]$.

Le domande quindi sono due:

1) Perché si attribuisce la causa del cambio verso della disequazione alla stretta decrescenza dell'arcocoseno e non alla stretta decrescenza del coseno in $[0, \pi]$?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per caso è per via del fatto che se una funzione è strettamente monotona crescente/decrescente allora anche la sua inversa lo è?

2) In questo caso, ad ambo i membri ho delle quantità sicuramente comprese in $[0, pi]$, dunque sono sicuro che il verso della disequazione debba cambiare. Se così non fosse stato, come si sarebbe dovuto procedere?

[sellacollesella]

Data una funzione \(f : I \to \mathbb{R}\), si definisce:

• crescente in \(I\) se per ogni \(x_1,x_2 \in I\) tali che \(x_1 \le x_2\) si ha \(f(x_1) \le f(x_2)\);
  
  
• decrescente in \(I\) se per ogni \(x_1,x_2 \in I\) tali che \(x_1 \le x_2\) si ha \(f(x_1) \ge f(x_2)\).

Pertanto, dato che:

• \(0 \le \arccos(x+1) \le \pi \; \Leftrightarrow \; -2 \le x \le 0\);
  
  
• \(0 \le 1 \le \pi\) è sempre vera;

applicando ambo i membri della disequazione la funzione coseno, decrescente in \([0,\pi]\), si ha: \[
\arccos(x+1) < 1
\quad \Leftrightarrow \quad
\begin{cases}
-2 \le x \le 0 \\
x+1 > \cos(1)
\end{cases}
\quad \Leftrightarrow \quad
\cos(1)-1 < x \le 0.
\] In generale toccherà suddividere lo studio in più regioni in cui \(f\) è crescente o decrescente.

[DeltaEpsilon]

Ciao @sellacollesella
ti ringrazio tanto per le derivazioni ma di quelle ero già al corrente!
La domanda (1) si riferiva alla frase riportata e non a come/perchè è uscito fuori quel risultato.

Ripeto, siccome entrambi i membri sono compresi in $[0, \pi]$ e la funzione coseno è decrescente in tale intervallo, la disequazione cambia verso se applico il coseno ad ambo i membri.
La domanda è: perchè il testo attribuisce il cambio verso alla decrescenza dell'arcocoseno piuttosto che alla decrescenza del coseno (che è la funzione che stiamo applicando)?

[sellacollesella]

In tal caso non saprei risponderti, dato che qui la funzione applicata ambo i membri è il coseno, quindi ciò di cui dobbiamo curarci è che ambo i membri della disequazione siano compresi nell'intervallo considerato, ossia \([0,\pi]\), e poi applicare la funzione coseno ambo i membri invertendo il verso perché decrescente. Altro, bho.

[DeltaEpsilon]

Ok allora siamo d'accordo!

Grazie