Segmenti e punto medio

[mel__]

Ciao a tutti!
Stavo svolgendo questo esercizio di geometria:

Per dimostrare il punto a) ho considerato che: $AB=AC+CB$ e $CD=CB+BD$ e quindi: $AC+CB=CB+BD$ e in conclusione abbiamo $AC=BD$.
Per il punto b), io so che: $AB=AM+MB$ e che $CD=CN+ND$ ma non so come legare insieme il tutto per fare uscire che MN e CB hanno lo stesso punto medio. Graficamente lo riesco a vedere ma con il procedimento non riesco proprio.
Grazie in anticipo

[BayMax]

Ciao @mel!
Provo a rispondere io alla tua domanda, ma verifica se ciò che scrivo può avere un senso:
supponendo ci sia un refuso nel testo ed il punto che lui indica con 2 sia, in realtà, il punto $M$, io procederei così: devo dimostrare che $PC=PB$; ho che $PC=CM+MP$ e $PB=PN+BN$; ora, $CM=AM-AC$ e $BN=ND-BD$, per cui si ha, sostituendo queste ultime due relazioni nella prime due, $PC=AM-AC+MP$ e $PB=PN+ND-BD$. Infine $AM=(AB)/2$ essendo $M$ punto medio di $AB$ e $ND=(CD)/2$ essendo $N$ punto medio di $CD$, per cui si ha: $PC=(AB)/2-AC+MP$ e $PB=PN+(CD)/2-BD$. Sappiamo che $AB=CD$ per ipotesi, $MP=PN$ per ipotesi (essendo $P$ punto medio di $MN$) e $AC=BD$ perché dimostrato nel punto a). Da cui $PC=PB$ c.v.d. (volevo scriverlo perché sarà almeno un decennio che non lo faccio ).

Spero di averci preso e chiedo scusa se non ho usato le sopralineature per i segmenti ed i simboli di congruenza, ma facevo prima così

In caso non sia stato chiaro, chiedi pure e, come sempre,

saluti

[DavidGnomo]

Proviamo.
Innanzitutto abbiamo varie informazioni a nostra disposizione che possiamo utilizzare per la dimostrazione.
1. $AB \cong CD$
2. $AC \cong BD$ da cui, poichè $M$ ed $N$ sono i punti medi dei rispettivi segimenti, abbiamo $AM \cong MB \cong CN \cong ND$
3. Essendo $P$ punto medio di $MN$ segue che $MP \cong PN$

Quello che ci chiede il problema è di dimostrare che $P$ è il punto medio del segmento $BC$ ovvero dobbiamo dimostrare che $CP \cong PB$.

Oserviamo che:
$PB \cong PN - BN$
Vediamo se, partendo da $CP$ riusciamo ad avere lo stesso valore di $PB$.
$CP \cong MP - MC$ Ma $MP \cong PN$ per ipotesi, per cui posso scrivere $CP \cong PN - MC$.

Ehi, ci siamo quasi.... se riuscissimo a dimostrare che $BN \cong MC$ avremo dimostrato la tesi iniziale.

A tal fine osserviamo che: $BN \cong BD - ND$
Vediamo se $MC$ può avere lo stesso valore.
$MC \cong AC - AM$ ma per ipotesi:
- $AC \cong DB$ e
- $AM \cong ND$
per cui possiamo scrivere $MC \cong DB - ND$ dimostrando così la congruenza tra i segmenti $BN$ e $MC$.

Con quete nuove informazioni posso riscrivere la seguente:
$CP \cong PN - MC \cong PN - BN \cong PB$.

Spero sia tutto corretto ed il ragionameno non troppo confusionario

[mel__]

Grazie mille ad entrambi! Adesso è tutto molto più chiaro.