Dubbio fasci di parabole

[Marco1005]

Buongiorno,
ho un piccolo dubbio sui fasci di parabole, nello specifico sulle generatrici di una parabola.
Premetto che non ho mai trattato questo argomento relativo alla parabola.
L’esercizio fatto dalla prof è il seguente:
"determina le generatici della seguente funzione"
$y=kx^2+(1-k)x-2k$

svolge banalmente i calcoli e poi porta tutto a primo membro
$y=kx^2+x-kx-2k$

$y-kx^2-x+kx+2k=0$

raccoglie k

$y-x+k(-x^2+x+2)=0$

a questo punto scrive che la prima generatrice è $y=x$ (primo pezzettino isolando la y)
e la seconda generatrice è $-x^2+x+2=0$
trasforma la seconda in $x^2-x-2$
scompone poi la seconda generatrice in fattori primi $(x-2)(x+1)$ e pertanto le rette generatrici sarebbero
$x=2, x=-1$

perdonate l'estrema ignoranza; capisco quando si tratta del fascio di rette dove prendo la prima retta e moltiplico per k volte la seconda, ma in questo caso cosa ci azzeccano la bisettrice del primo e terzo quadrante, la retta $x=-1$ e la retta $x=2$ con tutte le ipotetiche parabole che potrei disegnare al variare del parametro k? a cosa mi servono le generatrici se tanto poi mi basta impostare qualche k e disegnare le parabole al variare del parametro? in aggiunta la seconda generatrice è una parabola, non potevo già disegnarla così? perchè scomporla in fattori primi.
Grazie mille

[HowardRoark]

$y-x+k(-x^2+x+2)=0$

Se questo fosse un fascio di parabole dovrebbe esserci una $y$ racchiusa nella parentesi. A me viene in mente solo che per $k=0$ questa diventa $y=x$ per $k<0$ ha concavità verso il basso e per $k>0$ ha concavità verso l'alto.

scompone poi la seconda generatrice in fattori primi $(x-2)(x+1)$ e pertanto le rette generatrici sarebbero
$x=2, x=-1$

Proprio per questo non mi sembra un fascio di una retta ed una parabola, ma solo una parabola che dipende da un parametro $k$

[Marco1005]

scompone poi la seconda generatrice in fattori primi $(x-2)(x+1)$ e pertanto le rette generatrici sarebbero
$x=2, x=-1$

Proprio per questo non mi sembra un fascio di una retta ed una parabola, ma solo una parabola che dipende da un parametro $k$

la prof però ha disegnato queste due rette e non capisco perchè. Che senso ha?

[giammaria]

Confermo che si tratta di un fascio di parabole: infatti sono infinite parabole, collegate da una formula che contiene un parametro in forma lineare (cioè $k$ non è elevato a potenza né altro di simile). Quando avrete maggiori conoscenze, scoprirete che l'insieme di due rette parallele fra loro è considerato una parabola con asse di simmetria parallelo alle rette; l'aspetto è diverso dal solito e per questo si dice che è una parabola degenere.
Può aiutarvi vedere la cose graficamente. Come facilmente verificabile, tutte le parabole del fascio passano per $A(-1,-1)$ e $B(2,2)$; al variare di $k$ cambia però la posizione del vertice che può uscire dall'alto o dal basso del disegno con $|k|$ abbastanza grande. In questi casi non vediamo più l'intera parabola, ma solo i suoi due archi, passanti uno per A e l'altro per B; all'aumentare di $|k|$ questi archi diventano sempre meno curvi e sempre più in verticale, fino a confondersi con le rette $x=-1$ e $x=2$, in cui degenerano quando $k$ è infinito.

[Marco1005]

Confermo che si tratta di un fascio di parabole: infatti sono infinite parabole, collegate da una formula che contiene un parametro in forma lineare (cioè $k$ non è elevato a potenza né altro di simile). Quando avrete maggiori conoscenze, scoprirete che l'insieme di due rette parallele fra loro è considerato una parabola con asse di simmetria parallelo alle rette; l'aspetto è diverso dal solito e per questo si dice che è una parabola degenere.
Può aiutarvi vedere la cose graficamente. Come facilmente verificabile, tutte le parabole del fascio passano per $A(-1,-1)$ e $B(2,2)$; al variare di $k$ cambia però la posizione del vertice che può uscire dall'alto o dal basso del disegno con $|k|$ abbastanza grande. In questi casi non vediamo più l'intera parabola, ma solo i suoi due archi, passanti uno per A e l'altro per B; all'aumentare di $|k|$ questi archi diventano sempre meno curvi e sempre più in verticale, fino a confondersi con le rette $x=-1$ e $x=2$, in cui degenerano quando $k$ è infinito.

Grazie mille, sinceramente mai fatto niente del genere a ragioneria. Da dove deduci che le parabole passano per i punti A e B? hai messo a sistema due parabole con k diversi?

[giammaria]

Da dove deduci che le parabole passano per i punti A e B? hai messo a sistema due parabole con k diversi?

Sì. In questo caso ho trovato conveniente pensare alle due parabole generatrici e quindi al sistema
${(y-x=0),(-x^2+x+2=0):}$