Th.di Lagrange

[mel__]

Buongiorno a tutti
Sto risolvendo questo esercizio e non riesco proprio a risolvere il punto c.

Per verificare la continuità non ho problemi. Sulla derivabilità invece sì.
Grazie in anticipo per l'aiuto!

[LucaSt]

Ciao! Derivando si ottiene \(f'(x)=sgn(3x^5-10x^3)\cdot(15x^4-30x^2)\) e bisogna verificare che nei punti in cui la funzione f(x) si annulla all'interno degli intervalli dati (-1;1) e (0;2)¹ sia vera l'uguaglianza:
\(\lim_{x \to x_0^+} f'(x)=\lim_{x \to x_0^-} f'(x)\)
Questo perchè il valore assoluto potrebbe creare dei punti angolosi sull'asse delle ascisse.
Cioè bisogna controllare in \(x=0\) e \(x=± \sqrt{10/3}\). Nel primo punto viene verificato, mentre nel secondo no, quindi f(x) sarà derivabile in (-1;1) e non in (0;2). Ora manca solo da determinare il punto \((x_0,f(x_0))\) interno a (-1;1) in cui \(f'(x_0)=\frac {f(1)-f(-1)} {1-(-1)}\)

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Note

1. estremi esclusi per la verifica della derivabilità nel teorema di Lagrange ↑

[mel__]

Ora è chiaro. Non riuscivo a capire in che punti dovevo studiare la derivabilità e da dove venivano fuori.
Grazie per l'aiuto

[Mephlip]

@LucaSt: Dovresti almeno specificare che stai usando un corollario del teorema di Lagrange, che ha delle ipotesi opportune. Non sempre si può stabilire la derivabilità in un punto \(x_0\) calcolando \(f'\) per \(x \ne x_0\) e passando al limite per \(x \to x_0^+\) e \(x\to x_0^-\). Uno studente inesperto (specialmente in una sezione non universitaria) potrebbe convincersi erroneamente che quella tecnica sia valida sempre.

@mel__: Il metodo più generale è partire usando i teoremi di regolarità delle funzioni elementari: essi affermano che se siamo già a conoscenza della derivabilità di un numero finito di funzioni, possiamo dedurre la derivabilità di alcune operazioni tra di esse. Sappiamo che somma e prodotto di funzioni derivabili nelle parti interne dei loro domini sono derivabili nell'intersezione delle parti interne dei domini, quindi essendolo le costanti e le potenze in \(\mathbb{R}\) segue che \(3x^5-10x^3\) è derivabile in \(\mathbb{R}\). Composizione di funzioni derivabili è derivabile (sempre nelle opportune parti interne dell'insieme in cui ha senso fare la composizione), perciò, essendo il valore assoluto derivabile in \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\), segue che \(f\) è derivabile almeno nei punti in cui l'argomento del modulo non si annulla; ossia, \(f\) è derivabile almeno in \(\mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{10/3}, 0, \sqrt{10/3}\}\). Rimangono pertanto tre casi da studiare, per i quali applichiamo la definizione. Ossia, dobbiamo verificare se esistono finiti i limiti:
$$\lim_{h \to 0} \frac{f\left(-\sqrt{10/3}+h\right)-f\left(-\sqrt{10/3}\right)}{h}$$
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}$$
$$\lim_{h \to 0} \frac{f\left(\sqrt{10/3}+h\right)-f\left(\sqrt{10/3}\right)}{h}$$
e, in caso affermativo, essi sono uguali rispettivamente a \(f'\left(-\sqrt{10/3}\right)\), \(f'(0)\) ed \(f'\left(\sqrt{10/3}\right)\). Questi sono limiti che dovresti saper calcolare. Chiaramente, se hai dei dubbi chiedi pure .

Ultima nota: se invece sappiamo che una certa funzione non è derivabile, in generale non possiamo dedurre nulla sulle operazioni varie che si possono fare tra essa e altre funzioni. Ad esempio, sappiamo che \(|x|\) e \(x-|x|\) non sono derivabili in \(x=0\) ma la loro somma \(|x|+x-|x|=x\) è derivabile in \(x=0\). È per questo che, quando ho composto \(3x^5-10x^3\) con \(|x|\), ho detto "almeno".

[mel__]

Tutto chiarissimo!
Grazie mille per la spiegazione @Mephlip