Ricavare x

[jhs]

Buongiorno, purtroppo le mie conoscenze di matematica derivate dall'ITIS di qualche ventennio fà sono un po' arrugginite.
Ho trovato in un libro che sto leggendo questa equazione (la riporto esattamente come è scritta sul libro e in forma più leggibile):
S=KA(B-C)((1-3XC/A)^(1-2/X)-1)/D^2/(2-X)

$S=KA(B-C)((1-3XC/A)^(1-2/X)-1)/D^2/(2-X)$
dati S,K,A,B,C,D vorrei ricavare X.
Il mio problema è che avendo l'incognita sia nella base,nell'esponente, e nell'ultima parentesi, non riesco a ricavarla.
Potreste darmi un aiuto?

[sellacollesella]

Hai pienamente ragione, non risulta possibile esplicitare \(x\) tramite funzioni elementari.

Ad esempio, ciò accade anche in un'equazioncina del tipo: \[
e^x-x-2=0
\] per la quale una strategia consiste nel riscriverla come: \[
e^x = x + 2
\] ossia come: \[
\begin{cases}
y_1 = e^x \\
y_2 = x + 2 \\
y_1 = y_2
\end{cases}
\] e individuare eventuali intersezioni tra i due grafici:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)

da cui si scopre che l'equazione in esame ha due soluzioni \(x\) reali: una in \([-2,-1]\) e una in \([1,2]\).
Ciò fatto, risulta possibile approssimarle numericamente applicando un opportuno metodo numerico.

Il più semplice di tutti è il cosiddetto metodo di bisezione, altrimenti c'è il metodo delle secanti, o ancora il metodo delle tangenti e così via, la scelta dipende un po' dal contesto e dalle proprie abilità matematiche.

A prescindere dal metodo applicato è possibile stabilire \(x \approx -1.84141\) o \(x \approx 1.14619\).

Tutto ciò per farti capire dove dovrai parare se vorrai risolvere quell'equazione rispetto ad \(x\). Se contestualizzi un po' il problema e ci dici che valori numerici possono assumere i vari parametri sarà possibile aiutarti di più.

[jhs]

Certo, l'unico esempio che ho con me ora è questo che riporta i seguenti valori per l'equazione:
A=4370 B=1500 C=954 D=3000 K= 1158 e X=0.5 da cui risulta S=303.5. Per quanto riguarda i valori di X, vale sempre il vincolo: X>0
Eventualmente più tardi quando rientro controllo nel libro.

[sellacollesella]

Purtroppo quei valori numerici non sono compatibili con l'equazione che hai scritto sopra, non la verificano. Il mio consiglio è di rivedere il tutto per bene o comunque di caricare una immagine per fugare ogni dubbio.

[jhs]

Non sono molto pratico a scrivere le formule al PC, non riesco a scriverla bene;
$S=KA(B-C){(1-\frac(3XC)(A))^(1-2/X)-1}$
il tutto diviso per $D^2$ e poi diviso ancora per $(2-X)$
Sostituendo con i dati sopra S dovrebbe risultare corretto approssimando i decimali.

[sellacollesella]

Sostituendo i valori numerici di cui sopra, abbiamo:

• \(KA(B-C) = 2763011160\);
  
  
• \(1 - \frac{3XC}{A} = 0.67254\);
  
  
• \(1 - \frac{2}{X} = -3\);
  
  
• \(0.67254^{-3}-1 = 2.28735\);
  
  
• \(2763011160 \cdot 2.28735 = 6319973577\);
  
  
• \(6319973577/D^2 = 702.219\);
  
  
• \(702.219/(2-X) = 468.146\);

che, al di là delle approssimazioni, è diverso da \(303.5\).

[jhs]

Hai perfettamente ragione, ho sbagliato io a copiare il risultato negli appunti!! Il risultato che riporta il libro è 468.2, in linea con quanto hai calcolato tu.

[pistacios]

Scusate se mi infilo in mezzo

Ad esempio, ciò accade anche in un'equazioncina del tipo: \[
e^x-x-2=0
\]

Per curiosità, come posso capire quando in effetti non è esplicitabile in funzioni elementari (in modo inequivocabile)? Aka come ti è venuto quell'esempietto? Perché se ci penso mi rimane una tavola bianca e non mi vengono idee (o se mi vengono non ho la certezza che non sia in effetti esplicitabile ma non sia io capace)

[Faussone]

Per curiosità, come posso capire quando in effetti non è esplicitabile in funzioni elementari (in modo inequivocabile)? Aka come ti è venuto quell'esempietto? Perché se ci penso mi rimane una tavola bianca e non mi vengono idee (o se mi vengono non ho la certezza che non sia in effetti esplicitabile ma non sia io capace)

Non è che ci sia una regola, provi a ricavare $x$ e te ne rendi conto, un buon indizio è quando appaiono funzioni non algebriche trascendenti (come esponenziali, logaritmi ecc).

Comunque se si vuole ricavare la $x$ quando quella $S=0$ allora credo non ci siano soluzioni nei numeri reali¹. (nel senso che quella espressone è sempre positiva e tende ad infinito quando $x$ tende a 2).

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Note

1. Nei reali la funzione esiste solo per $x<A/(3C)$. ↑

[jhs]

Per curiosità, come posso capire quando in effetti non è esplicitabile in funzioni elementari (in modo inequivocabile)? Aka come ti è venuto quell'esempietto? Perché se ci penso mi rimane una tavola bianca e non mi vengono idee (o se mi vengono non ho la certezza che non sia in effetti esplicitabile ma non sia io capace)

Non è che ci sia una regola, provi a ricavare $x$ e te ne rendi conto, un buon indizio è quando appaiono funzioni non algebriche trascendenti (come esponenziali, logaritmi ecc).

Comunque se si vuole ricavare la $x$ quando quella $S=0$ allora credo non ci siano soluzioni nei numeri reali¹. (nel senso che quella espressone è sempre positiva e tende ad infinito quando $x$ tende a 2).

No, X non può mai essere 0 e nemmeno S. A me interessa ricavare X dati gli altri coefficienti, che sono sempre maggiori di 0.
Nell'esempio S=468.146 (il testo approssima a 468.2).

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Note

1. Nei reali la funzione esiste solo per $x<A/(3C)$. ↑