Disequazione

[mel__]

Buonasera a tutti!
Stavo svolgendo questo esercizio in cui mi viene chiesto lo studio di funzione.

Il punto in cui mi blocco è la monotonia della funzione.
La derivata della funzione è:
$y'=e^xln|x|+e^x/x$
Bisogna studiare:
$y'>=0$
$e^xln|x|+e^x/x>=0$
$e^x(ln|x|+1/x)>=0$
$e^x$ è sempre maggiore di 0. Quindi mi rimane:
$ln|x|+1/x>=0$
Ho considerato i due casi per il modulo.
Per $x>0$ abbiamo $lnx+1/x>=0$
Per $x<0$ abbiamo $ln(-x)+1/x>=0$
Il problema è che non riesco a risolvere queste disequazioni.
Grazie in anticipo per l'aiuto

[Mephlip]

Mel__, per favore, quando non è necessario non riportare foto: riscrivi il testo dell'esercizio, altrimenti col tempo le foto vengono cancellate e il thread diventa illeggibile. Grazie!

Per quanto riguarda l'esercizio, quella disequazione non si sa risolvere esplicitamente. Puoi provare a studiare la funzione \(f(x)=\log|x|+1/x\) e cercare di dimostrare che esiste un'unica soluzione di \(f(x)=0\) in \((-2,-1)\). Pe dimostrarlo, puoi notare che \(f'(x)=1/|x|-1/x^2\) e questa volta \(f'(x) \ge 0\) la sai risolvere. Puoi inoltre studiare anche i limiti per \(\pm \infty\), per \(x \to 0^+\) e per \(x \to 0^-\) di \(f\) per dedurre altre informazioni che, unite alla continuità e alla monotonia di \(f\), ti faranno dedurre quell'informazione sulla soluzione di \(f(x)=0\). Se hai dei dubbi, chiedi pure!

[mel__]

Ciao! Grazie mille per l'informazione, non ne avevo idea.
Per quanto riguarda l'esercizio, praticamente è come se dovessimo fare un altro studio a parte della funzione $f(x)=ln|x|+1/x$. Seguendo quanto mi hai detto penso di aver trovato come si comporta la funzione ma davvero non riesco a capire come trovare il punto per cui $ln|x|+1/x=0$. Ho provato a graficare $ln|x|$ e $-1/x$ per vedere dove si intersecano e vedo che è per $x<-1$ ma non so trovare le coordinate del punto precise.
Grazie per l'aiuto

[sellacollesella]

Quindi mi rimane:
$ln|x|+1/x>=0$

Quella disequazione equivale a: \[
\begin{cases}
y_1 = \ln|x| \\
y_2 = -1/x \\
y_1 \ge y_2
\end{cases}
\] e dato che i grafici di tali funzioni sono immediati¹, si ha:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)

da cui è facile dedurre che \(y_1 \ge y_2\) se \(x \le \alpha\) oppure se \(x>0\), con \(\alpha \in (-2,-1)\), ossia:

• \(f\) è crescente per \(x < \alpha\);
  
  
• \(f\) è stazionaria per \(x = \alpha\), punto di massimo locale;
  
  
• \(f\) è decrescente per \(\alpha < x < 0\);
  
  
• \(f\) è crescente per \(x > 0\).

Questo è ciò che si aspettano da te gli autori dell'esercizio, in quanto \(\alpha\) non è possibile calcolarla in forma chiusa facendo uso delle sole funzioni elementari, bensì o ci si appella ad opportune funzioni speciali o più comunemente ci si accontenta di una approssimazione numerica (\(\alpha \approx -1.76322\)), che probabilmente non
vi hanno ancora insegnato a calcolare (ne abbiamo discusso qui pochi giorni fa).

Se, per curiosità, volessi studiare anche il segno della derivata seconda arriveresti alla disequazione: \[
\ln|x| \ge \frac{1-2x}{x^2}
\] che si attacca nel modo appena illustrato, con l'aggravante che ora la funzione a membro destro non è immediata e quindi dovresti veramente farci uno studio di funzione nello studio di funzione. Per questo
gli autori dell'esercizio hanno esplicitamente scritto di non avventurarsi in tale studio, troppo lungo.

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Note

1. Ossia dovresti ricordarne le caratteristiche essenziali, che a seconda dell'esigenza del vostro docente dovrai mostrare in maniera più o meno esplicita seguendo quanto già scritto nel dettaglio da Mephlip. ↑

[mel__]

Grazie per la spiegazione! Adesso è tutto chiaro.
Avevo anche sbagliato a leggere il risultato del libro perché non avevo letto $in$ e pensavo mi chiedesse il valore preciso di $alpha$. Invece basta che dico che è compreso tra -2 e -1.
Grazie mille per l'aiuto ad entrambi!