Deduzioni dal grafico

[mel__]

Buonasera a tutti!
Stavo svolgendo questo esercizio ma sto avendo problemi con alcuni punti e altri non so se sono giusti.

Nella prima parte dell'esercizio, che riguarda $f(x)$ e la sua derivata, dovrebbe essere:
a)$D=RR-{+-1}$ e $Imm=(-infty,1)uu[4,+infty)$
b)La funzione non è invertibile perché non è biunivoca. Non è iniettiva perché è pari e non è suriettiva perché ai valori del condominio tra 1 e 4 non corrisponde nessun elemento del dominio.
c)I risultati dovrebbero essere 1 e non esiste per gli altri due limiti essendo i limiti da destra e da sinistra diversi.
d)Per i valori della derivata sono andata a guardare il coefficiente angolare delle rette tangenti e quindi dovrebbero essere $0$,$4/3$,$-4/3$.
e)Ho visto dove la funzione è crescente e dove decrescente. Quindi dovrebbe essere: $f'(x)>=0 rArr x>=0$
f)Non so davvero cosa devo andare ad osservare nel grafico.

Quando passa a considerare $g(x)\sqrt(f(x))$:
a)Dovrei andare a vedere dove $f(x)$ è positiva e quindi dovrebbe essere: $D=x<=-2uu-1<x<1uux>=2$
b)Ho pensato che fare il limite di $g(x)$ dovrebbe corrispondere al limite di $f(x)$ e quindi dovrebbero essere $1$,$+infty$ e $+infty$.
Dal punto c in poi non so davvero come continuare l'esercizio.

Scusatemi per la richiesta di controllare, se possibile, anche i punti svolti ma su questa tipologia di esercizi sono davvero insicura.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto!
Buona serata

[sellacollesella]

Scusatemi per la richiesta di controllare, se possibile, anche i punti svolti ma su questa tipologia di esercizi sono davvero insicura.

In generale hai fatto un buon lavoro, brava!

Ora cerco di commentare i vari punti, se non sarò preciso interverranno gli esperti del settore.

a) $D=RR-{+-1}$ e $Imm=(-infty,1)uu[4,+infty)$

Sì, il dominio è \(D=\mathbb{R}\backslash\{-1,1\}\) e l'insieme immagine è \(f(D)=(-\infty,1)\cup[4,+\infty)\).

b) La funzione non è invertibile perché non è biunivoca.

Ok.

Non è iniettiva perché è pari

Ok.

non è suriettiva perché ai valori del condominio tra 1 e 4 non corrisponde nessun elemento del dominio.

Dato che il codominio non è stato dichiarato dal testo dell'esercizio, possiamo considerarlo coincidente con l'insieme immagine e in tal caso la funzione è suriettiva. Se, invece, il codominio lo consideriamo pari ad \(\mathbb{R}\) allora la funzione non è suriettiva. Rispetto all'iniettività la suriettività è decisamente meno restrittiva.

c) I risultati dovrebbero essere 1 e non esiste per gli altri due limiti essendo i limiti da destra e da sinistra diversi.

Ok.

d) Per i valori della derivata sono andata a guardare il coefficiente angolare delle rette tangenti e quindi dovrebbero essere $ 0 $,$ 4/3 $,$ -4/3 $.

Ok.

e) Ho visto dove la funzione è crescente e dove decrescente. Quindi dovrebbe essere: $ f'(x)>=0 rArr x>=0 $

Nì: \(f'(x) \ge 0\) se \(0\le x < 1\,\vee\,x>1\).

f) Non so davvero cosa devo andare ad osservare nel grafico.

Ti stanno chiedendo il coefficiente angolare della retta tangente nei punti \(x \to c\).

a) Dovrei andare a vedere dove $ f(x) $ è positiva e quindi dovrebbe essere: $D=x<=-2uu-1<x<1uux>=2$.

Ok.

b) Ho pensato che fare il limite di $ g(x) $ dovrebbe corrispondere al limite di $ f(x) $ e quindi dovrebbero essere $ 1 $,$ +infty $ e $ +infty $.

In quei punti specifici sì, altrove no.

Dal punto c in poi non so davvero come continuare l'esercizio.

Se riesci a calcolare \(g'(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\sqrt{f(x)}=\dots\) poi è tutto in discesa.

[mel__]

Ciao Grazie per l'aiuto!

Ti stanno chiedendo il coefficiente angolare della retta tangente nei punti x→c.

Quindi devo guardare le rette $y=1$, $x=-1$ e $x=1$? Queste dovrebbero avere coefficiente angolare $0$, $+infty$ e $+infty$, giusto?

Se riesci a calcolare $g′(x)=d/dx\sqrtf(x)=… $poi è tutto in discesa.

Essendo $g'(x)=1/{2\sqrt(f(x))}f'(x) -> g'(0)=1/{2\sqrt(f(0))}*f'(0)=1/(2\sqrt4)* 0=0$
d) $g'(-2)$ e $g'(-2)$ non esistono perché, essendo $g'(x)=1/{2\sqrt(f(x))}f'(x)->g'(-2)=1/0*(-4/3)$ e quindi viene un infinito; stessa cosa per $g'(2)$.
e)Poiché $g'(x)=1/{2\sqrt(f(x))}f'(x)$
$lim_(x->infty)g'(x)=lim_(x->infty)1/(2\sqrtf(x))*f'(x)=1/(2*1)*0=0$
$lim_(x->-1^+)g'(x)=lim_(x->-1^+)1/(2\sqrtf(x))*f'(x)=1/(2*+\infty)*+infty=\infty/\infty$
$lim_(x->1^-)g'(x)=lim_(x->1^-)1/(2\sqrtf(x))*f'(x)=1/(2*+\infty)*+infty=\infty/\infty$
Ho sostituito i valori scritti prima per i limiti della derivata di $f(x)$ ma non saprei come togliere la forma indeterminata e se è giusto quello che ho fatto.

[sellacollesella]

Quindi devo guardare le rette $y=1$, $x=-1$ e $x=1$?

Essenzialmente sì, in quanto al limite hanno lo stesso coefficiente angolare delle rette tangenti: \[
\lim_{x\to\infty} f'(x)=0, \quad\quad \lim_{x \to -1}f'(x)=-\infty, \quad\quad \lim_{x \to +1}f'(x)=+\infty
\] dove, però, dovrai prestare più attenzione ai rispettivi segni; riflettici bene.

Essendo $ g'(x)=1/{2\sqrt(f(x))}f'(x) -> g'(0)=1/{2\sqrt(f(0))}*f'(0)=1/(2\sqrt4)* 0=0 $

Ok.

d) $ g'(-2) $ e $ g'(-2) $ non esistono perché, essendo $ g'(x)=1/{2\sqrt(f(x))}f'(x)->g'(-2)=1/0*(-4/3) $ e quindi viene un infinito; stessa cosa per $ g'(2) $.

Non possiamo sostituire \(x=\pm 2\) perché la divisione per zero non è definita, ma al limite: \[
\lim_{x \to (-2)^-} g'(x)=-\infty, \quad\quad \lim_{x \to (+2)^+} g'(x)=+\infty.
\]
Circa l'ultimo punto dell'esercizio, a me verrebbe naturale tracciare qualitativamente il grafico di \(g\):

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)

da cui è abbastanza facile dedurre che: \[
\lim_{x\to\infty}g'(x)=0, \quad\quad \lim_{x\to(-1)^+}g'(x)=-\infty, \quad \quad \lim_{x\to(+1)^-}g'(x)=+\infty.
\] A solito, attendi anche il responso di utenti più qualificati di me.

[mel__]

Dovrai prestare più attenzione ai rispettivi segni; riflettici bene.

Potrebbe essere perché in x=-1 la retta tangente è decrescente e quindi il coefficiente angolare è negativo? Mentre in x=1 la retta tangente è crescente e quindi il coefficiente angolare è positivo?

Non possiamo sostituire x=±2 perché la divisione per zero non è definita

Perché, essendo la derivata $g'(x)=1/(2\sqrtf(x))*f'(x)$, i punti in cui non è possibile calcolarla vengono dal denominatore? Cioè, deve essere $\sqrtf(x)!=0$ (e anche $f(x)>=0$) e quindi $x!=+-2$?

Circa l'ultimo punto dell'esercizio, a me verrebbe naturale tracciare qualitativamente il grafico di g:

Guardando il grafico di $g(x)$ mi è chiaro il valore dei limiti ma non avrei saputo disegnarlo.
Grazie ancora per l'aiuto

[sellacollesella]

Potrebbe essere perché in x=-1 la retta tangente è decrescente e quindi il coefficiente angolare è negativo? Mentre in x=1 la retta tangente è crescente e quindi il coefficiente angolare è positivo?

Più precisamente, per \(x<-1\,\vee\,-1<x<0\) la funzione \(f\) è decrescente, quindi il coefficiente angolare della retta tangente è negativo in tali punti, mentre per \(0<x<1\,\vee\,x>1\) la funzione \(f\) è crescente, quindi il coefficiente angolare della retta tangente è positivo in tali punti.

Perché, essendo la derivata $g'(x)=1/(2\sqrtf(x))*f'(x)$, i punti in cui non è possibile calcolarla vengono dal denominatore? Cioè, deve essere $\sqrtf(x)!=0$ (e anche $f(x)>=0$) e quindi $x!=+-2$?

Esatto, quella formula ha senso solo se vi si possono eseguire le operazioni, altrimenti non è applicabile.

Guardando il grafico di $g(x)$ mi è chiaro il valore dei limiti ma non avrei saputo disegnarlo.

Secondo me, invece, ne sei in grado. Innanzitutto la radice quadrata la puoi calcolare in quei punti in cui \(f\) non è negativa, ossia nel dominio che hai già individuato al punto a). In particolare, per \(x < -2\) oppure per \(x > 2\) la funzione \(f\) assume valori tra \(0\) e \(1\), quindi la radice quadrata è un numerello un po' più grande; tenendo conto, inoltre, dei valori limite si ottiene pressappoco il grafico arancio di cui sopra. Invece, per \(-1<x<1\) la funzione \(f\) assume valori da \(4\) in su, quindi la radice quadrata assumerà valori da \(2\) in su, ossia pressappoco si otterrà il grafico arancio di cui sopra. Tutto ciò è a livello qualitativo, ovviamente.

[mel__]

Tutto chiarissimo! Grazie mille dell'aiuto e delle spiegazioni