Regola di Cramer buggata?

[IlMago]

Ciao a tutti.
Questo è il mio primo messaggio, anche se leggo da un po'.

In questi giorni ho studiato la regola di Cramer per i sistemi lineari di due equazioni in due incognite, ma non capisco una cosa.
Il sistema letterale fatto dalle equazioni $kx - ky = 1$ e $kx + ky = k$ (con k parametro) ha determinanti associati $D = 2k^2$, $D_x = k(k+1)$ e $D_y = k (k-1)$ se non ho fatto male i calcoli.
Se faccio una discussione, per $k!=0$ il sistema è determinato e so calcolare la soluzione. Invece, per $k=0$ il sistema non può essere determinato, ma solo indeterminato o impossibile, perché ha $D=0$; visto che $D_x=0$ e $D_y=0$ direi che il sistema è indeterminato per la regola di Cramer.
Però... Se sostituisco $k=0$ nelle equazioni, trovo $0=1$ (impossibile) e $0=0$ (identità, quindi indeterminata) e perciò il sistema non dovrebbe essere impossibile perché ha un'equazione impossibile???

Sbaglio?
O è buggata la regola come me l'hanno data?

Grazie a tutti.

[sellacollesella]

Dato il sistema di equazioni lineari: \[
\begin{cases}
kx-ky=1\\
kx+ky=k\\
\end{cases}
\] con \(k\in\mathbb{R}\), una volta calcolati i determinanti: \[
D=
\begin{vmatrix}
k&-k\\
k&k\\
\end{vmatrix}
=2k^2,
\quad\quad\quad
D_x=
\begin{vmatrix}
1&-k\\
k&k\\
\end{vmatrix}
=k(k+1),
\quad\quad\quad
D_y=
\begin{vmatrix}
k&1\\
k&k\\
\end{vmatrix}
=k(k-1)
\] dato che: \[
D=0\quad\quad\Leftrightarrow\quad\quad k=0
\] dobbiamo distinguere due casi:

• se \(k\ne 0\) il sistema ha un'unica soluzione che possiamo determinare applicando la regola di Cramer: \[
  (x,y)=\left(\frac{D_x}{D},\frac{D_y}{D}\right)=\left(\frac{k+1}{2k},\frac{k-1}{2k}\right);
  \]
• se \(k=0\) il sistema non ha un'unica soluzione e quindi la regola di Cramer non è applicabile, bensì sostituendo banalmente tale valore nel sistema di equazioni si scopre che ha zero soluzioni, ossia si dice che il sistema è impossibile (in altri casi, invece, potrebbe capitare che abbia infinite soluzioni, ossia si dice che il sistema è indeterminato).

Insomma, Cramer si esprime solo quando \(D\ne 0\), altrimenti ci lascia la patata bollente in mano.

[IlMago]

Grazie, ma non è come l'hanno detta a me.

Ti allego uno screen del libro così facciamo prima.

[@melia]

In effetti in generale il teorema coincide con l'enunciato se hai coefficienti numerici. Quando i coefficienti sono letterali, invece, vale solo se la molteplicità degli zeri è la stessa. In $Delta$ il $k$ è elevato alla seconda, quindi lo zero è del secondo ordine, cioè $k_1=k_2=0$, mentre in $Delta_x$ lo zero è del primo ordine $k_1=0 ^^ k_2= -1$, così anche in $Delta_y$ lo zero è del primo ordine $k_1=0 ^^ k_2= 1$.
Riassumendo: se stai lavorando con i numeri il teorema è enunciato correttamente, se lavori con parametri, invece, ti conviene sostituire i valori che annullano il $Delta$ e comportarti di conseguenza.

[sellacollesella]

Ti allego uno screen del libro così facciamo prima.

Mi hai incuriosito e ho controllato su La matematica a colori ed. BLU - Algebra 2 - Leonardo Sasso - Petrini.

In particolare, nell'unità 2 - Sistemi lineari e matrici, paragrafo 5 - Metodo di Cramer e criterio dei rapporti, riportano il teorema grosso modo come sul tuo libro ma, per fortuna, affiancato da un avvertimento:

Tale teorema non può essere applicato a sistemi in cui risulta \(a=b=0\) e \(a_1=b_1=0\).

Per esempio: \[
\begin{cases}
0x+0y=2\\
0x+0y=0\\
\end{cases}
\] è evidentemente impossibile, sebbene risulti \(D=D_x=D_y=0\).

Casi di questo tipo vanno quindi trattati a parte, senza ricorrere al teorema di Cramer.

Ecco spiegato il perché non mi ricordassi nemmeno di quelle regolette, dato che quando \(D=0\) ho sempre fatto diversamente. Ma si sa, non si finisce mai di imparare, per cui ben vengano pure questi confronti.

[gugo82]

My two cents: il problema è che si vuole semplificare troppo, usando i determinanti dei minori di ordine $2$ al posto dei ranghi delle matrici dei coefficienti e completa come nel teorema di Rouché & Capelli; ma ciò alla fin fine non è possibile proprio per l'esistenza di esempi (anche numerici... Il fatto che ci siano parametri non cambia nulla!) come quello riportato da sellacollesella.
Poi uno ci può mettere la pezza come fa @melia, andando a guardare la molteplicità delle radici di $D=0$, ma come sappiamo la Matematica non funziona così.
E se un autore dà l'enunciato di un teorema, si dovrebbe assicurare che esso funzioni veramente.


@IlMago: Fuori dal fatto tecnico, così cerco di farlo capire anche a te che di Algebra Lineare ancora non sai nulla (immagino), il problema del teorema che ti hanno enunciato è che esso vale se e solamente se il determinante $D$ dei coefficienti non ha come elementi tutti $0$ (cioè se e solo se $D != |(0, 0), (0, 0)|$), ossia solo se la parte con le incognite del tuo sistema in forma normale contiene effettivamente almeno una delle due incognite in almeno una delle due equazioni.
Probabilmente, da qualche parte all'inizio del capitolo, troverai una definizione di sistema lineare: leggila, perché può darsi che lì dentro ci sia quest'ipotesi che serve a far funzionare il teorema (che può essere scritta come "almeno uno tra $a,b,a_1,b_1$ diverso da zero").


P.S.: Situazioni come queste spiegano quel che ho già detto altrove sui revisori di bozze e sugli autori dei manuali scolastici.