Dubbio esercizio ellisse e iperbole

[Marco1005]

Salve a tutti, ho un piccolo dubbio su questo esercizio. Il testo recita
“Determina per quali parametri reale positivi h e k l’iperbole $hx^2-ky^2=1$ ha vertici reali in comune con l’ellisse di equazione $x^2/25+y^2/16=1$ e le due curve hanno eccentricità reciproche”
A questo visto che nell’ellisse $a>b$ significa che i vertici staranno sull’asse x, pertanto incrocio l’ellisse con l’asse x.
Ottengo i due punti d’incontro $(5,0) (-5,0)$
Ora vincolo che i punti d’incontro dell’iperbole siano gli stessi che ha l’ellisse.
Imposto un sistema dove incrocio l’iperbole con l’asse x da cui risulta
$hx^2=1$
$x=+-sqrt(1/h)$
A questo punto vincolo che $1/h=5$ e $1/h=-5$ e trovo che $h=+-1/25$
È corretta come impostazione?
Grazie mille

[sellacollesella]

Essendo \(h>0\) e \(k>0\), l'iperbole assegnata è: \[
\frac{x^2}{\left(\sqrt{1/h}\right)^2}-\frac{y^2}{\left(\sqrt{1/k}\right)^2}=1
\] la quale ha vertici \(\left(\pm\sqrt{1/h},0\right)\) ed eccentricità \(\frac{\sqrt{1/h\,+\,1/k}}{\sqrt{1/h}}\).

Inoltre, essendo assegnata l'ellisse: \[
\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1
\] essendo \(5>4\) ha vertici \((\pm 5,0)\) ed eccentricità \(\frac{\sqrt{25-16}}{5}\).

Non rimane che calcolare i valori di \(h\) e \(k\) che soddisfano i vincoli dell'esercizio.

[@melia]

Il ragionamento fila fin quasi alla fine, poi quando arrivi a $x=+- sqrt(1/h)$ sostituendo ottieni $+-5= +- sqrt(1/h)$ da cui $25=1/h $ e $h=1/25$.
Nel caso in cui $h= -1/25$ otterresti il vertice non reale dell'iperbole coincidente con quello dell'ellisse.

[Marco1005]

Per quanto riguarda l’eccentricita’ reciproca non ho ben capito.
Trovo l’eccentricità dell’ellisse sapendo che $a>b$
Pertanto utilizzo la formula $e=c/a$
So che i parametri dell’ellisse sono:
$a=5$
$b=4$
$c=3$
Pertanto $e=3/5$
Quindi devo impostare che l’eccentricità dell’iperbole sia reciproca di quella dell’ellisse, cioè $5/3$
Il mio problema sta qui; devo utilizzare l’iperbole appena trovata oppure devo utilizzare la formula generica?
Perché se devo utilizzare la formula generica so solo che $h>0, k>0$ ma non so quale dei due sia piu’ grande, quindi non so quale formula di eccentricità utilizzare, $e=c/a$ oppure $e=c/b$ da rendere uguale a $5/3$

[Marco1005]

Il ragionamento fila fin quasi alla fine, poi quando arrivi a $x=+- sqrt(1/h)$ sostituendo ottieni $+-5= +- sqrt(1/h)$ da cui $25=1/h $ e $h=1/25$.
Nel caso in cui $h= -1/25$ otterresti il vertice non reale dell'iperbole coincidente con quello dell'ellisse.

Hai ragione, non ho elevato il $-5$ alla seconda. Grazie

[Marco1005]

ed eccentricità \(\frac{\sqrt{1/h\,+\,1/k}}{\sqrt{1/h}}\).

I

Pardon l'ignoranza ma non riesco a capire da dove hai trovato fuori questa eccentricità, mi sembra così complesso

[sellacollesella]

Non riesco a capire da dove hai trovato fuori questa eccentricità, mi sembra così complesso!

Nel caso di una ellisse in forma canonica: \[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\] si possono verificare due casi:

• se \(a>b\) i fuochi sono sull'asse x, quindi \(e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\);
  
  
• se \(b>a\) i fuochi sono sull'asse y, quindi \(e=\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\).

Nel caso di una iperbole in forma canonica: \[
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
\] i fuochi sono sicuramente sull'asse x, quindi \(e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}\).

Nel caso di una iperbole in forma canonica: \[
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1
\] i fuochi sono sicuramente sull'asse y, quindi \(e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}\).


Acquisite tali nozioni teoriche, siamo pronti ad esaminare l'equazione cartesiana: \[
hx^2-ky^2=1
\] che a seconda dei valori reali di \(h\) e \(k\) può essere sia una ellisse che una iperbole!

D'altro canto, sapendo che \(h>0\) e \(k>0\) possiamo permetterci di riscriverla così: \[
\frac{x^2}{1/h}-\frac{y^2}{1/k}=1 \quad\quad\Rightarrow\quad\quad \frac{x^2}{\left(\sqrt{1/h}\right)^2}-\frac{y^2}{\left(\sqrt{1/k}\right)^2}=1
\] che è una iperbole con i fuochi sull'asse x, quindi di eccentricità \(e=\frac{\sqrt{1/h\,+\,1/k}}{\sqrt{1/h}}\).

[Marco1005]

che è una iperbole con i fuochi sull'asse x, quindi di eccentricità \(e=\frac{\sqrt{1/h\,+\,1/k}}{\sqrt{1/h}}\).

ho rivisto tutto con calma e mi è piu chiaro ma comunque ora dovrei impostare

\(e=\frac{\sqrt{1/h\,+\,1/k}}{\sqrt{1/h}}=5/3\)

ma come la risolvo in due variabili?

[sellacollesella]

ma come la risolvo in due variabili?

Il primo vincolo è \(\sqrt{1/h}=5\).

Il secondo vincolo è \(\frac{\sqrt{1/h\,+\,1/k}}{\sqrt{1/h}}=5/3\).

Due equazioni in due incognite.

[Marco1005]

Il primo vincolo è \(\sqrt{1/h}=5\).

Il secondo vincolo è \(\frac{\sqrt{1/h\,+\,1/k}}{\sqrt{1/h}}=5/3\).

Due equazioni in due incognite.

Capisco le formule ma mi sfugge qualcosa nel problema;
il testo dice di trovare i parametri “h” e “k” per cui:

le due curve hanno stessi punti d’incontro con asse x, perfetto $h=1/25$ e $k=0$
le due curve hanno eccentricità reciproca.

Pensando di risolverle separatamente, ecco il senso della mia domanda;come poter risolvere una radice se sia “h” che “k” sono incognite?
Perché prendo come riferimento da inserire nella formula il valore di “h” che risponde alla risposta della prima domanda?
Allora dovrei prendere come riferimento da inserire nella formula di eccentricità anche il valore di $k=0$ ma non posso. Perché se sono due domande distinte devo prendere il valore di $h$ trovato nel primo punto?
Se risolvo l’eccentricità con la formula da te impostata trovo due valori di “h” e “k” , che però non mi permettono più di rispondere alla prima domanda, perché nel primo caso doveva essere $k=0$, se qui trovo un k diverso vuol dire che questo parametro mi consente di rispondere alla seconda domanda ma non più alla prima.