Dubbio risoluzione disequazione esponenziale

[Marco1005]

Salve,
avrei un piccolo dubbio sulla soluzione proposta dal libero su questa disequazione esponenziale.
$4^(3(x+1))<32^(2/x-1)$
Svolgo e diventa
$4^(3x+3)<(2^5)^(2/x-1)$
$2^(6x+6)<2^(10/x-5)$
Elimino le basi e rimane
$6x+6<10/x-5$
A questo punto non so di preciso come proseguire ma non posso eliminare il denominatore x , in quanto non sapendo che segno ha non posso farlo come nelle equazioni.
La soluzione che trovo però è ottenuta moltiplicando ambo i lati per x e risolvendo la disequazione di secondo grado
$x<-5/2, 0<x<2/3$

Non mi sembra corretta, voi che dite?
p.s nella consegna non c'è nessun riferimento al fatto che si utilizzino valori x positivi.
Grazie mille come sempre

[sellacollesella]

Come hai giustamente scritto, la disequazione: \[
4^{3(x+1)}<32^{\frac{2}{x}-1}
\] equivale alla disequazione: \[
6x+6<\frac{10}{x}-5.
\] Quindi, procedendo correttamente, la riscriviamo così: \[
6x+6-\frac{10}{x}+5<0
\] ossia così: \[
\frac{6x^2+11x-10}{x}<0.
\] Non rimane che studiare la positività di numeratore e denominatore, forza!

[Marco1005]

Ciao grazie per la risposta,
mi chiedo è possibile trasformarla cosi? cioè sarebbe uguale a dividere per x ma non sapendo quanto vale x come posso farlo? se x fosse positivo o negativo dovrei invertire il segno. Scusa ma non mi entra in testa questo passaggio. O meglio mi crea dubbio

[sellacollesella]

Una volta arrivati alla disequazione: \[
6x+11-\frac{10}{x}<0
\] ciò che non possiamo fare è moltiplicare ambo i membri per \(x\) scrivendo: \[
x\left(6x+11-\frac{10}{x}\right)<0\cdot x
\quad\Rightarrow\quad
6x^2+11x-10<0
\] dato che, come hai giustamente osservato, \(x\) può essere positiva, negativa o nulla.

D'altro canto, ciò che possiamo fare è il minimo comune multiplo dei denominatori: \[
\frac{6x^2+11x-10}{x}<0
\] e procedere studiando il segno di numeratore e denominatore, quindi fare il prodotto dei segni.

Insomma, ciò che non possiamo fare è sbarazzarci del denominatore, sarebbe
come tagliare le radici ad una piantina e poi meravigliarsi che non cresce più.

[Marco1005]

D'altro canto, ciò che possiamo fare è il minimo comune multiplo dei denominatori: \[
\frac{6x^2+11x-10}{x}<0
\] e procedere studiando il segno di numeratore e denominatore, quindi fare il prodotto dei segni.

Insomma, ciò che non possiamo fare è sbarazzarci del denominatore, sarebbe
come tagliare le radici ad una piantina e poi meravigliarsi che non cresce più.

Hai ragione da vendere, porca miseria, moltiplicare no, ma denominatore comune si, quale miglior modo di gestire frazioni con denominatore diverso se non con un mcm . grazie mille