Dubbi esercizi numeri complessi

[Max321]

Buongiorno a tutti avrei bisogno di capire cosa mi sta sfuggendo con questo due esercizi:

1) trovare l’insieme delle soluzioni dell’equazione |z+1|z=z(coniugato)

Io ho provato a sostituire a z=x+iy, al coniugato z=x-iy e calcolato il modulo di |z+1| ma ahimè arrivo a un punto in cui mi blocco con i calcoli, quindi credo che la strada non sia quella corretta.

2)risolvi la seguente equazione e scrivi le soluzioni in forma esponenziale.

X^3+27=0

Per questo esercizio ho trovato le soluzioni in forma algebrica scomponendo il polinomio e sono:

X=-3, x=3/2-3/2 i √3 e x= 3/2+3/2 i √3

solo che scrivendole in forma esponenziale non mi trovo con nessuno dei risultati del libro che sono:

X1=3 e^(π/3 i)
X2=3 e^ (π i)
X3= 3 e^(5/3π i)

Come è possibile? Gia per x1 se vedo la mia soluzione algebrica il modulo è -3 e non 3 e tra l’altro la fase dovrebbe essere 2π e non π/3 in quanto sto calcolando l’arcotangente di zero.

Spero possiate aiutarmi come sempre. Vi ringrazio in anticipo

[Mephlip]

(1) Osserva che \(z=0\) è una soluzione. Dunque, denotato \(S\) l'insieme delle soluzioni, tenendo a mente che \(0\in S\) consideriamo \(S \setminus \{0\}\) e in quest'ultimo insieme si ha:\[
\left[\ |z+1|z=\overline{z}\ \right] \iff \left[|z+1|=\frac{\overline{z}}{z}\right]
\]L'ultima uguaglianza implica che \(\overline{z}/z\) è reale (in particolare, è non negativo), quindi la sua parte immaginaria deve essere nulla; ovvero, \(\Im(\overline{z}/z)=0\). Posto \(z=x+iy\), deve quindi essere \(0=\Im(\overline{z}/z)=-2xy/(x^2+y^2)\) e perciò \(xy=0\). Da ciò, segue \(x=0\) oppure \(y=0\). Distinguendo i due casi, otteniamo \(|x+1|=x/x=1\) oppure \(|iy+1|=-iy/iy=-1\). La seconda equazione non ammette soluzioni reali, mentre la prima è una semplice equazione col modulo che dovresti saper risolvere. Una volta risolta, devi verificare per sostituzione che le soluzioni trovate soddisfino l'equazione di partenza (perché non abbiamo un'equivalenza logica ma un'implicazione quando diciamo: "Ciò implica \(\Im(\overline{z}/{z})=0)\)"). Se non riesci a concludere, chiedi pure aiuto.

(2) Come fa il modulo a essere \(-3\)? Ti ricordo che il modulo è un numero reale non negativo. Stai sbagliando qualcosa. Inoltre, ricorda che la formula per determinare la fase usando l'arcotangente non vale sempre: dipende da dove sei nel piano complesso (e ciò è dovuto al fatto che non puoi invertire la tangente dappertutto, si vede durante lo studio della trigonometria).

Infine, per cortesia impara a usare le formule del forum: qui trovi un tutorial. È molto più semplice leggere i testi dei problemi con esse. Grazie!

[Max321]

Grazie mille per l’aiuto. Tutto chiarissimo come sempre

[giammaria]

Per l'esercizio 1 anche la tua strada era corretta. Elevando a quadrato, portando tutto a primo membro e lasciando in evidenza quello che già lo era, arrivi al sistema
${((x^2-y^2)[(x+1)^2+y^2-1]=0),(2xy[(x+1)^2+y^2+1]=0):}$
La quadra della seconda equazione non può annullarsi, quindi la semplifichi e prosegui senza difficoltà.

[@melia]

Per il secondo esercizio usa la circonferenza goniometrica.
$x_1= -3$ significa che il modulo vale 3, mentre il resto può essere visto come $-1+0i$ che equivale a $x_1= -3*e^(i*pi)$
Prova a costruire lo stesso giochino per le altre due soluzioni.