Disequazione di grado superiore al secondo

[Serena300515]

Buongiorno, secondo voi il risultato è corretto?

2X^8 + X^4 - 3 > 0
(2X^2 + X)^4 - 3 > 0
4√(2X^2 + X)^4 - 3 > 0
2X^2 + X - 3 > 0
Δ = 25
X < - 3/2
X > 1

[BayMax]

Ciao @Serena300515!
Essendo il tuo primo messaggio sul forum ti do il benvenuto e, per i prossimi messaggi, ti consiglio di scrivere le formule matematiche racchiuse tra due simboli di $ così da facilitarne la lettura.
Detto questo, no, il tuo procedimento non è corretto. In particolare, l'errore principale è qui, quando scrivi:

2X^8 + X^4 - 3 > 0
(2X^2 + X)^4 - 3 > 0

questo non è vero. E' come se scrivessi $(A+B)^2=A^2+B^2$, quando, invece, questo è un quadrato di binomio e presenta un ulteriore termine (il doppio prodotto). La stessa cosa vale per la potenza quarta di un binomio, che ha ben 5 termini!
La disequazione in questione, invece, è una cosiddetta trinomia (la riconosci perché un esponente dell'incognita è doppio rispetto all'altro). Queste disequazioni si risolvono, in generale, con una sostituzione:
$2x^8 + x^4 - 3 > 0$
pongo $x^4=t$ ed ottengo $2t^2+t-3>0$. A questo punto hai una disequazione di secondo grado in t che dovresti saper risolvere. Risolvendo l'equazione associata e poi la disequazione di secondo grado ottieni le due soluzioni: $t<-3/2 \vee t>1$. A questo punto torniamo alla sostituzione precedente che ci dà $x^4<-3/2 \vee x^4>1$, cioè due disequazioni cosiddette binomie che possiamo risolvere velocemente: la soluzione della prima non esiste, in quanto una potenza ad esponente pari sarà sempre $>=0$, per cui non non potrà mai essere $<-3/2$. La seconda disequazione binomia, invece, ha come soluzioni $x<-root(4)(1) \vee x>root(4)(1)$, cioè $x<-1 \vee x>1$.

Spero di essere stato sufficientemente chiaro, in caso contrario non esitare a chiedere.

Saluti