Un sistema di equazioni

[Gregorius]

Alle prese con un quesito di fisica ho trovato questo sistema di equazioni.
Si può risolvere?
Di che grado è?
Come si deve fare per risolverlo?
Io ho dato le equazioni in pasto a Wolfram che in effetti lo ha risolto, ma dà solo il risultato, non mi fa capire come procedere per risolverlo...

$ x-22=v_rt_1 $
$ x-22=x-v_vt_1 $
$ x-16+x=v_rt_2 $
$ x+16=v_vt_2 $
$ v_r=(x+6)/(t_2-t_1 $
$ v_v=(x-6)/(t_2-t_1 $

[sellacollesella]

Innanzitutto osserverei che la seconda equazione non dipende da \(x\), infatti: \[
x-22=x-v_vt_1 \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad v_v=\frac{22}{t_1}
\] che a sua volta se sostituita nella quarta equazione permette di calcolare: \[
x+16=\frac{22}{t_1}t_2 \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac{t_2}{t_1}=\frac{x+16}{22}
\] che è la stessa informazione che ci dà la sesta equazione, che quindi può essere eliminata.

Ciò fatto, sostituendo l'espressione di \(v_r\) offerta dalla quinta equazione nella prima, si ha: \[
x-22=\frac{x+6}{t_2-t_1}t_1 \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac{t_2}{t_1}=\frac{2(x-8)}{x-22}
\] che è la stessa informazione che ci dà la terza equazione, che quindi può essere eliminata.

A questo punto è elementare individuare l'equazione in \(x\), che lascio a te risolvere.

[Gregorius]

Grazie per la dritta, seguendo i tuoi consigli mi ritrovo allora con un sistema di quattro equazioni:

$ v_r=(x-22)/t_1 $
$ v_v=22/t_1 $
$ x+16=22t_2/t_1 $
$ (x-22)/t_1=(x+6)/(t_2-t_1 $

Dal quale (terza equazione) ho esplicitato $ t_2 $

$ t_2=(t_1*(x+16))/22 $

Che ho sostituito nella quarta equazione:

$ (t_2-t_1)*((x-22)/t_1))=x+6 $

$ ((((t_1)*(x+16))/22)-t_1)*((x-22)/t_1)=x+6 $

Che si riduce ad una equazione di secondo grado per l'incognita $ x $

$ (x^2)-50x=0 $

Due soluzioni:
$ x=0 $
$ x=50 $

Siccome il problema di fisica richiedeva di trovare la lunghezza ($ x $), allora scarto il risultato nullo e infatti $ 50 $ è quello esatto!

Ti ringrazio per la dritta, senza la quale non avrei saputo procedere!

[sellacollesella]

In base a quanto sopra scritto, abbiamo: \[
\frac{t_2}{t_1}=\frac{x+16}{22}, \quad\quad\quad \frac{t_2}{t_1}=\frac{2(x-8)}{x-22}.
\] Quindi, senza ulteriori indugi, l'equazione risolvente è: \[
\frac{x+16}{22}=\frac{2(x-8)}{x-22} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{x(x-50)}{22(x-22)}=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=0\,\vee\,x=50
\] da cui l'unica soluzione fisicamente accettabile: \(x=50\). Buono studio, ciao!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per risolvere il problema fisico bastavano due proporzioni:

• primo incontro: \(v_r:v_v = 22:(x-22)\);
  
  
• secondo incontro: \(v_r:v_v=(x-22+16):(22+x-16)\);

che porta immediatamente all'equazione risolvente: \[
\frac{22}{x-22}=\frac{x-6}{x+6} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{x(x-50)}{(x+6)(x-22)}=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=0\,\vee\,x=50.
\] In tal modo si evita quel luna park di equazioni.

[Gregorius]

In base a quanto sopra scritto, abbiamo: \[
\frac{t_2}{t_1}=\frac{x+16}{22}, \quad\quad\quad \frac{t_2}{t_1}=\frac{2(x-8)}{x-22}.
\] Quindi, senza ulteriori indugi, l'equazione risolvente è: \[
\frac{x+16}{22}=\frac{2(x-8)}{x-22} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{x(x-50)}{22(x-22)}=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=0\,\vee\,x=50
\] da cui l'unica soluzione fisicamente accettabile: \(x=50\). Buono studio, ciao!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per risolvere il problema fisico bastavano due proporzioni:

• primo incontro: \(v_r:v_v = 22:(x-22)\);
  
  
• secondo incontro: \(v_r:v_v=(x-22+16):(22+x-16)\);

che porta immediatamente all'equazione risolvente: \[
\frac{22}{x-22}=\frac{x-6}{x+6} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{x(x-50)}{(x+6)(x-22)}=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=0\,\vee\,x=50.
\] In tal modo si evita quel luna park di equazioni.

Grazie per questi approfondimenti, per arrivarci ci vuole una buona dose di intuizione, io purtroppo non la possiedo, devo arrovellarmi per giorni attorno ad un problema per risolverlo...

[sellacollesella]

Ah se non si imbocca la strada giusta possono essere dolori, ne so qualcosa!

Nello specifico, una volta fatto partire il cronometro, l'incontro avverrà dopo un certo tempo \(t_1\): \[
t_1=\frac{22}{v_r}, \quad\quad t_1=\frac{x-22}{v_v} \quad\Rightarrow\quad \frac{v_r}{v_v}=\frac{22}{x-22}.
\] Quindi, rifatto partire il cronometro, l'incontro avverrà dopo un certo tempo \(t_2\): \[
t_2=\frac{x-22+16}{v_r}, \quad\quad t_2=\frac{22+x-16}{v_v} \quad\Rightarrow\quad \frac{v_r}{v_v}=\frac{x-6}{x+6}.
\] Ecco che allora l'equazione risolvente risulta essere: \[
\frac{22}{x-22}=\frac{x-6}{x+6} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{x(x-50)}{(x+6)(x-22)}=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=0\,\vee\,x=50.
\] In ogni modo, anche il tuo sistema di equazioni era corretto, per cui bene comunque.