Ciao @Francy2005!
e, essendo il tuo primo messaggio sul forum, benvenuta/o. Prima che te lo dica qualche moderatore, te lo dico io: è sempre consigliabile scrivere l'esercizio piuttosto che allegare un'immagine in quanto, col tempo, le immagini vengono cancellate, per cui il thread risulterà incomprensibile a coloro che lo leggeranno in futuro. Altra cosa, è sempre consigliato almeno un tentativo di risoluzione, sia anche qualche ragionamento non esaustivo né corretto, ma che quantomeno dimostri un impegno di chi chiede un aiuto. Detto questo, veniamo a noi:
a) dovresti conoscere, dato che ti stai preparando alla maturità scientifica, che una funzione si definisce dispari se $f(-x)=-f(x)$; dimostriamo che tale relazione è valida in questo caso: $f(-x)=-x-arctan(-x)$, ora, ricordando che $arctan(x)$ è una funzione dispari, si ha $f(-x)=-x-arctan(-x)=-x+arctan(x)=-(x-arctan(x))=-f(x)$, da cui la tesi. Tutto questo, in questa situazione, non sarebbe neanche necessario, in quanto possiamo ricordarci che la somma di funzioni dispari è una funzione dispari essa stessa e, in questo caso, $f(x)=g(x)-h(x)$ dove $g(x)=x$ e $h(x)=arctan(x)$ sono funzioni dispari, per cui anche $f(x)$ sarà dispari.
Passiamo agli asintoti obliqui: dovresti sapere che condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché una funzione abbia asintoto obliquo è che $lim_(x -> infty) f(x)=infty$ (dove l'assenza di segno davanti al simbolo di $infty$ indica sia $+infty$ che $-infty$ a seconda dei casi). Verifichiamo che accada questo nel caso della nostra funzione:
$lim_(x -> infty) f(x)=lim_(x -> infty)(x-arctan(x))$ che è un limite immediato e dà, come risultato, $infty$ (in particolare $lim_(x -> +infty)(x-arctan(x))=+infty$ e $lim_(x -> -infty)(x-arctan(x))=-infty$. Per cui la condizione necessaria per l'esistenza di almeno un asintoto obliquo è verificata. Ora dobbiamo controllare che ci sia e ciò, come saprai, si verifica se $m=lim_(x -> infty) f(x)/x$ finito e diverso da 0 e $q=lim_(x -> infty) [f(x)-mx]$ finito (eventualmente anche pari a 0). Calcoliamo i due limiti: $m=lim_(x -> infty) f(x)/x=lim_(x -> infty)(x-arctanx)/x=lim_(x -> infty)(1-arctanx/x)=1$ (altro limite immediato); $q=lim_(x -> infty) [f(x)-mx]=lim_(x -> infty)(x-arctanx-x)=lim_(x -> infty)-arctanx=+-pi/2$ in particolare si ha $+pi/2$ quando $x->-infty$ e $-pi/2$ quando $x->+infty$. Di conseguenza abbiamo trovato due asintoti obliqui: $y=x+pi/2$ (asintoto obliquo sinsitro) e $y=x-pi/2$ (asintoto obliquo destro).
b) questo punto è piuttosto veloce da dimostrare ricordando che la funzione $arctanx$ ha dominio pari a $RR$ ed immagine pari a $]-pi/2, pi/2[ $, per cui $-pi/2<arctanx<pi/2$, cambio segni invertendo il verso della disequazione: $pi/2$>$-arctanx$>$-pi/2$ che equivale a $-pi/2<-arctanx<pi/2$. Infine aggiungo a tutti i membri $x$ ottenendo $x-pi/2<x-arctanx<x+pi/2$, dunque $x-pi/2<f(x)<x+pi/2$ da cui la tesi.
Per ora sono costretto a fermarmi qui per motivi di tempo. Se riesco continuo l'esercizio questa sera. Intanto spero di essere stato chiaro e, in caso contrario, non esitare a chiedere.
Saluti
P.S. Mentre inviavo il messaggio mi sono reso conto che aveva appena risposto @Melia, che saluto. Ma avevo fatto troppa fatica per cancellarlo, per cui lo lascio ugualmente
