Dubbio circonferenza degenere

[Marco1005]

Rieccomi alle prese con questa cosa, mai fatta a mio tempo
l'esercizio dice
"determina i valori di k per cui la circonferenza è degenere"

$x^2+y^2-2kx+3=0$

cercando un pò non ho capito una mazza, a volte trovo che è la circonferenza con raggio nullo , a volte trovo altre cose.
l'esercizio svolto mi dice di impostare $a^2+b^2-4c>=0$ ma non capisco il perchè.
help

[sellacollesella]

Io osserverei che: \[
x^2+y^2-2kx+3=0
\] equivale a scrivere: \[
x^2-2kx+k^2+y^2+3=k^2
\] o ancora: \[
(x-k)^2+y^2=k^2-3.
\] A questo punto dovresti essere in grado di concludere senza imparare formulone.

[gio73]

Ciao marco

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per caso la soluzione è
$-sqrt3<=k<=+sqrt3$?

[gio73]

Sella prima di me ops

[sellacollesella]

Sella prima di me ops

Avevo scritto fin troppo, ho spolpato un po'.

[gio73]

Oscurato
@marco
Prima di controllare esponi i tuoi ragionamenti

[Marco1005]

Io osserverei che: \[
x^2+y^2-2kx+3=0
\] equivale a scrivere: \[
x^2-2kx+k^2+y^2+3=k^2
\] o ancora: \[
(x-k)^2+y^2=k^2-3.
\] A questo punto dovresti essere in grado di concludere senza imparare formulone.

Sella.... non ho capito una mazza. Ma perchè dovrei riscriverla così?
mi spiegheresti in teoria cos'è una circonferenza degenere?
avevo risolto un altro esercizio dove ipotizzavo il raggio con parametro k e impostavo l'argomento della formula del raggio con argomento $>=0$ ma non avevo capito perchè

[sellacollesella]

Dovresti sapere che si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti \(P\) del piano distanti \(r>0\)
(detto raggio) da un punto \(C\) (detto centro). Questa filastrocca in matematichese si scrive come segue: \[
\text{distanza}(P,C)=r
\] ossia, ricordando che la distanza tra due punti si calcola applicando il teorema di Pitagora: \[
\sqrt{(x-x_c)^2+(y-y_c)^2}=r
\] e dato che stiamo uguagliando due quantità positive equivale ad uguagliarne i quadrati: \[
\boxed{(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2}
\] I passaggi di cui sopra, noti come metodo del completamento dei quadrati, hanno proprio l'obiettivo
di ricondursi a tale equazione, che penso sia seconda in termini di importanza solo all'equazione di
una retta, quindi non solo va conosciuta, ma va anche dominata in ogni suo dettaglio; in particolare:

• se \(r<0\) tale equazione ha come soluzione l'insieme vuoto (circonferenza immaginaria);
  
  
• se \(r=0\) tale equazione ha come unica soluzione il centro \(C\) (circonferenza degenere);
  
  
• se \(r>0\) tale equazione ha come soluzione infiniti punti (circonferenza reale).

D'altro canto, non è da escludere che alcuni autori con circonferenza degenere intendano \(r\le 0\).

[Marco1005]

Si queste formule le conosco mediamente bene, però avrei fatto in modo diverso; mi spiego meglio:

$x^2+y^2-2kx+3=0$

trovo coordinate del centro

$-(-2k)/2$ e trovo x centro
$-(0/2)$ e trovo y centro
il centro ha coordinate $(k;0)$

applico

$r=sqrt(k^2+0^2-3)$

pertanto
$k^2-3>0$ circ reale
$k^2-3=0$ degenere quindi $k=+-sqrt(3)$
$k^2-3<0$ inesistente

così non va bene?

sul libro di testo la circonferenza "eventualmente" degenere viene indicata con $>=0$

[sellacollesella]

Sviluppando i quadrati dell'equazione sopra rettangolata, si ha: \[
x^2-2x_cx+x_c^2+y^2-2y_cy+y_c^2=r^2
\] ossia, raggruppando opportunamente, si ha: \[
\boxed{x^2+y^2+({\color{red}{-2x_c}})x+({\color{green}{-2y_c}})y+\left({\color{blue}{x_c^2+y_c^2-r^2}}\right)=0}
\] Pertanto, imparando a memoria quest'altra forma e confrontandola con: \[
x^2+y^2-2kx+3=0
\] si ha una identità se e solo se: \[
\begin{cases}
{\color{red}{-2x_c}}=-2k \\
{\color{green}{-2y_c}}=0\\
{\color{blue}{x_c^2+y_c^2-r^2}}=3\\
\end{cases}
\quad \Leftrightarrow \quad
\begin{cases}
x_c=k\\
y_c=0\\
r^2=k^2-3\\
\end{cases}
\] da cui seguono i soliti tre casi di circonferenza immaginaria, degenere o reale (etichette da adattare
a seconda dei gusti degli autori del libro su cui si sta studiando, non sono universalmente accettate).

Insomma, ciò che hai scritto va bene, specie se il percorso di studi non prevede ancora il metodo di completamento dei quadrati, in quanto poi quella è la via maestra, dato che implica meno memoria.

Naturalmente poi dipende da come si desidera affrontare gli studi. Al tempo del liceo, ero tra quelli a cui non interessavano le dimostrazioni, erano troppo faticose, bensì preferivo le scorciatoie consistenti nell'ingozzarsi di formule su formule, tant'è che chi più ne sapeva e più era considerato "bravo" (tra noi sbarbatelli intendo).

Poi, però, si impara a proprie spese che quelle scorciatoie non portano da nessuna parte, quindi si torna sui propri passi e si ricomincia a studiare solamente lo stretto necessario, il resto deve essere una conseguenza ricavabile all'occorrenza. Però, ecco, questo è un percorso lungo, non lo si matura dalla sera alla mattina.