Esercizio problema trigonometria

[Max321]

Buongiorno,

Non sto riuscendo a risolvere il seguente problema di trigonometria.
Potreste darmi una mano? Vi ringrazio come sempre in anticipo per la vostra gentilezza e il vostro fantastico servizio che offrite su questo forum.

“In una circonferenza di raggio r considera quattro punti consecutivi A,B,C,D. Le tre corde AB, BC e CD misurano rispettivamente r, r√3, r√2. Quanto misura la corda AD?”

Grazie in anticipo

[sellacollesella]

Se fai un bel disegno potrai individuare dei triangoli isosceli di vertice comune O e base le corde. In tal modo dovresti capire come calcolare l'angolo al vertice di ciascun triangolo e per differenza pure di quello di base incognita. Ciò fatto, la soluzione del problema è immediata. Provaci e per difficoltà mostra i passaggi.

[Max321]

Ok ti ringrazio. Ho risolto grazie al tuo suggerimento.
Gia che ci sono ho un problema con questo esercizio (allego la foto per comodità)
L’esercizio è il 152 e sarei in grado di risolverlo subito trovando l’angolo mancante facendo 180-gli altri due angoli.
Il punto è che se invece impostassi le equazioni del teorema di seni, non riesco a trovare la chiave per arrivare all’equazione mancante.

Potresti darmi qualche suggerimento anche qui?

[sellacollesella]

se invece impostassi le equazioni del teorema di seni, non riesco a trovare la chiave

I teoremi di seno e coseno offrono rispettivamente le equazioni: \[
\sin\beta=\frac{3/5}{8\sqrt{3}}\,\overline{AC},
\quad\quad\quad
\cos\beta=\frac{(8\sqrt{3})^2+20^2-\overline{AC}^2}{2\cdot 8\sqrt{3}\cdot 20}
\] che quadrate e sommate membro a membro porgono un'equazione biquadratica in \(\overline{AC}\).

Tra le due soluzioni positive, l'unica accettabile è quella tale per cui \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\).

[Max321]

La cosa che non sto capendo è la seguente. Trovando il terzo angolo ossia circa 83 gradi riesco a calcolare subito l’area e mi viene circa 137 che coincide col risultato del libro di testo se svolgo il calcolo della radice espresso nel risultato.

Dato che pero il risultato viene dato col radicale mi chiedo se ci sia un metodo per risolverlo con i teoremi piu semplici che mi sta sfuggendo

[Max321]

Scusatemi ho risolto. Era facilissimo.

Grazie ancora

[sellacollesella]

Suppongo tu abbia capito che è sufficiente imporre: \[
\pi=\alpha+\beta+\gamma \quad\Rightarrow\quad \pi-\beta=\alpha+\gamma \quad\Rightarrow\quad \sin(\pi-\beta)=\sin(\alpha+\gamma)
\] ossia: \[
\sin(\beta)=\sin(\alpha)\cos(\gamma)+\cos(\alpha)\sin(\gamma)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{4}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+4\right)}{10}
\] da cui l'area richiesta: \[
A=\frac{8\sqrt{3}\cdot 20\cdot\sin(\beta)}{2}=\boxed{24\left(\sqrt{3}+4\right)}.
\] In ogni modo, a prescindere dalla strategia risolutiva, la calcolatrice non usarla mai!

[Max321]

Ahah hai ragione per quello mi sono scervellato.
Comunque alla fine ho tracciato l’altezza rispetto alla base AC e chiamata BH. A quel punto ho trovato i segmenti AH e HC e dunque AC. Di lí ho potuto calcolare l’area