Dubbio sulle disequazioni trigonometriche

[HowardRoark]

Ho un dubbio abbastanza banale sulle disequazioni trigonometriche. Se risolvo $senx > -1/sqrt(2)$ nell'intervallo $[-pi, pi)$, ottengo come soluzioni $-pi<=x<-3/4pi vv -1/4pi<x<pi$; se risolvo la stessa disequazione in $[0,2pi)$, ottengo $0<=x<5/4pi vv 7/4pi<x<2pi$. Se considero le soluzioni della disequazione su tutto $RR$, potrei scrivere (a seconda dell'intervallo di ampiezza $2pi$ nel quale ho risolto la disequazione all'inizio):

1)$-pi + 2kpi<=x<-3/4pi +2kpi vv -1/4pi<x<pi+2kpi$ ;

2)$ 2kpi<=x<5/4pi + 2kpi vv 7/4pi + 2kpi <x<2pi + 2kpi$.

Questi due insiemi di soluzioni sono equivalenti, il problema è che non riesco a trovare nessun $k in ZZ$ che mi permette di passare, ad esempio, dal primo insieme di soluzioni al secondo.

Inoltre, se voglio risolvere la disequazione in $[-pi/2; 3/2 pi)$ ottengo addirittura un unico intervallo anziché due, come nelle soluzioni precedenti:

$-1/4 pi < x < 5/4pi$.

Come faccio a capire velocemente che questi insiemi di soluzioni sono tutti equivalenti?

[sellacollesella]

La retta \(y=-1/\sqrt{2}\) suddivide la circonferenza \(x^2+y^2=1\) in un arco inferiore in cui \(\sin\theta<-1/\sqrt{2}\) e in un arco superiore in cui \(\sin\theta>-1/\sqrt{2}\), che sono gli stessi a prescindere da tutte le considerazioni che hai scritto sopra. In tal modo è anche presto capito quale sia il modo più sintetico per scrivere la soluzione.

[HowardRoark]

Questo è chiaro, però se, ad esempio, $-pi+2kpi <= x < -3/4pi + 2kpi vv -1/4pi + 2kpi < x < pi + 2kpi$ rappresenta l'insieme delle soluzioni della disequazione su tutto $RR$, io in teoria dovrei riuscire a trovare un $k$ che mi permetta di passare dall'insieme delle soluzioni in $[-pi,pi)$ a quello in $[0,2pi)$ o anche a quello relativo a $[-pi/2, 3/2pi)$, giusto?
Non ho difficoltà a scrivere l'insieme delle soluzioni della disequazione in un intervallo di ampiezza $2pi$ assegnato.

[sellacollesella]

Se mi assegnassero quell'insieme soluzione lo graficherei sulla circonferenza goniometrica e in un batter d'occhio saprei come scriverlo a seconda dell'intervallo prescritto. Non conosco altri modi semplici per farlo.

[@melia]

Non puoi passare completamente da una scrittura all’altra aggiungendo un giro perché i due intervalli in cui cerchi le soluzioni hanno un intervallo in comune.

[HowardRoark]

Non puoi passare completamente da una scrittura all’altra aggiungendo un giro perché i due intervalli in cui cerchi le soluzioni hanno un intervallo in comune.

Ok, adesso mi è più chiaro.
Grazie mille.

[Quinzio]

Come faccio a capire velocemente che questi insiemi di soluzioni sono tutti equivalenti?

Prendi la tua soluzione scritta cosi':

$[-\pi, -3/4 \pi] \cup [-1/4 \pi, pi]$

Poi aggiungi alla destra un altro intervallo a cui hai aggiunto $2 \pi$, senza calcolare il modulo, ovvero se ti viene $3 \pi$ non scrivere $\pi$, lascialo com'e'.

$[-\pi, -3/4 \pi] \cup [-1/4 \pi, pi]\cup[pi, 5/4 \pi] \cup [7/4 \pi, 3 \pi]$

Poi fai la stessa cosa a sinistra, dopo aver sottratto $2\pi$ alla soluzione

$[-3\pi, -11/4 \pi] \cup [-9/4 \pi, -\pi] \cup [-\pi, -3/4 \pi] \cup [-1/4 \pi, pi] \cup [pi, 5/4 \pi] \cup [7/4 \pi, 3 \pi]$

Poi vai alla ricerca di intervalli che possono essere uniti, cioe' la fine di un intervallo coincide con l'inizio del successivo.
Quello che ottieni e':

$[-3\pi, -11/4 \pi] \cup [-9/4 \pi, -3/4 \pi] \cup [-1/4 \pi, 5/4 \pi] \cup [7/4 \pi, 3 \pi]$

A questo punto vai alla ricerca di un sotto intervallo di lunghezza $2\pi$, quello che ti e' piu' familiare.
Ad esempio:
$[-1/4 \pi, 5/4 \pi]$

Ecco fatto.
Non e' veloce. Certo, perche' dopo un po' dovresti fare queste operazioni a mente, oppure con due schizzi su un foglio di carta.
Del resto puoi fare le stesse operazioni in modo grafico, e ti rendi meglio conto di cosa stai facendo.

[HowardRoark]

Prendi la tua soluzione scritta cosi':

$[-\pi, -3/4 \pi] \cup [-1/4 \pi, pi]$

Poi aggiungi alla destra un altro intervallo a cui hai aggiunto $2 \pi$, senza calcolare il modulo, ovvero se ti viene $3 \pi$ non scrivere $\pi$, lascialo com'e'.

$[-\pi, -3/4 \pi] \cup [-1/4 \pi, pi]\cup[pi, 5/4 \pi] \cup [7/4 \pi, 3 \pi]$

Poi fai la stessa cosa a sinistra, dopo aver sottratto $2\pi$ alla soluzione

$[-3\pi, -11/4 \pi] \cup [-9/4 \pi, -\pi] \cup [-\pi, -3/4 \pi] \cup [-1/4 \pi, pi] \cup [pi, 5/4 \pi] \cup [7/4 \pi, 3 \pi]$

Poi vai alla ricerca di intervalli che possono essere uniti, cioe' la fine di un intervallo coincide con l'inizio del successivo.
Quello che ottieni e':

$[-3\pi, -11/4 \pi] \cup [-9/4 \pi, -3/4 \pi] \cup [-1/4 \pi, 5/4 \pi] \cup [7/4 \pi, 3 \pi]$

Grazie mille per avermi mostrato quest'altro metodo, cercherò di applicarlo negli esercizi giusto per prendere confidenza anche con metodi non grafici.

A questo punto vai alla ricerca di un sotto intervallo di lunghezza $2\pi$, quello che ti e' piu' familiare.
Ad esempio:
$[-1/4 \pi, 5/4 \pi]$

Ovviamente questo intervallo non è di lunghezza $2pi$, piuttosto è l'intervallo delle soluzioni se risolvo la disequazione in $[-pi/2; 3/2pi)$ (che è di lunghezza $2pi$). Lo scrivo solo per precisare, perché personalmente cado spesso in confusione quando ci sono di mezzo le funzioni periodiche.

[Quinzio]

Si, e' corretto.

C'e' un metodo ancora migliore.
Disegni un cerchio e l'intervallo che hai trovato lo disegni sul cerchio, cosi' la periodicita' ce l'hai in automatico con il cerchio.
Un volta disegnato il tuo intervallo, scegli come piu' ti piace un punto di inizio (che sara' anche il punto di fine), e riscrivi il tuo intervallo in modo piu' comprensibile.