Esercizi disequazioni esponenziali

[Quasar3.14]

Ciao a tutti,

sto ripetendo le disequazioni esponenziali e vorrei, se fosse possibile, un vostro parere riguardo lo svolgimento dei seguenti esercizi.

Primo esercizio:

$ sqrt((x-1)^2 e^-x) > x-1 $

Nel caso di $ x-1<0$ abbiamo $ (x-1)^2 e^-x >0 $ quindi $(x-1)^2>0$ ossia $x^2-2x+1>0$ --> $x_{1} = x_{2} = 1$ mentre $e^-x$ essendo un esponenziale è una quantita sempre maggiore di 0, quindi $e^-x >0$ è vera per ogni x appartenente all'insieme dei numeri reali. Quindi la soluzione del primo sistema è (-inf, 1)

Nel caso di $ x-1>0$ elevo al quadrato ottenendo $(x-1)^2 e^-x> (x-1)^2$ semplificando entrambi i membri per $(x-1)^2$ ottengo $e^-x>1$ quindi $x<0$ La soluzione del secondo sistema è (0,1).

Unendo le due soluzioni otteniamo che la soluzione della disequazione è (-inf, 1). Corretto?

Secondo esercizio:

$(2x^2 -\frac{1}{2}x) e^-x>=0 $

$(2x^2 -\frac{1}{2}x)>=0$ risolvendo la disequazione ottengo (-inf,0) U (1/2, + inf) che sono anche la soluzione della disequazione in quanto $e^-x>=0$ è sempre positivo. Corretto?

[Quinzio]

Ok il primo.
Per il secondo ricontrolla i punti di intersezione della parabola con l'asse $x$.

[Quasar3.14]

Grazie per il tuo aiuto.

Ho ricontrollato il secondo esercizio ed effettivamente ho fatto un errore di calcolo.
Adesso la soluzione a cui sono giunto è $(-infty,0) U (1/4, + infty)$

Mi sono inoltre esercitato su queste altre due disequazioni

$(e^(4-x^2) - 1) / (sqrt2 - e^(x-3)) >=0 $

Per quanto concerne il numeratore

$e^(4-x^2) - 1$ --> $e^(4-x^2) >= 1$ quindi $4-x^2>=0$ abbiamo $x<=+-1$

Per il denominatore (condizione di esistenza denominatore diverso da zero. quindi x diverso da 7/2)

$(sqrt2 - e^(x-3) >0$ riscrivo il tutto come $e^(1/2)>e^(x-3)$ quindi $x<7/2$

Poiche la diseq. deve essere positiva le soluzioni sono [-2,+2]. Corretto?

Infine c'è questo esercizio:

$e^4x - e^(2x+2)-e^2x+e^2<0$

Le basi sono tutte uguali ad e quindi sono passato direttamente al confronto degli esponenti, è corretto?

$4x+2<2x+2+2x$ -->$4x+2<4x+2$ Sbaglio qualcosa? Oppure deve essere svolta così? In tal caso la diseq. è impossibile, corretto?

Grazie per l'aiuto.

[Quinzio]

Grazie per il tuo aiuto.

Ho ricontrollato il secondo esercizio ed effettivamente ho fatto un errore di calcolo.
Adesso la soluzione a cui sono giunto è $(-infty,0) U (1/4, + infty)$

Mi sono inoltre esercitato su queste altre due disequazioni

$(e^(4-x^2) - 1) / (sqrt2 - e^(x-3)) >=0 $

Per quanto concerne il numeratore

$e^(4-x^2) - 1$ --> $e^(4-x^2) >= 1$ quindi $4-x^2>=0$ abbiamo $x<=+-1$

Meglio
$-2 \le x \le 2$

Per il denominatore (condizione di esistenza denominatore diverso da zero. quindi x diverso da 7/2)

$(sqrt2 - e^(x-3) >0$ riscrivo il tutto come $e^(1/2)>e^(x-3)$ quindi $x<7/2$

Direi di no...
$sqrt2 - e^(x-3) >0$

$sqrt2 > e^(x-3) $

$1/2 ln 2 > x-3 $

Poiche la diseq. deve essere positiva le soluzioni sono [-2,+2]. Corretto?

Infine c'è questo esercizio:

$e^4x - e^(2x+2)-e^2x+e^2<0$

Le basi sono tutte uguali ad e quindi sono passato direttamente al confronto degli esponenti, è corretto?

$4x+2<2x+2+2x$ -->$4x+2<4x+2$ Sbaglio qualcosa? Oppure deve essere svolta così? In tal caso la diseq. è impossibile, corretto?

Assolutamente no. Ci sono delle somme. Oltre ad errori "tipografici".
Cosa giustificherebbe il passaggio che hai fatto ?

Bisogna fare dei raccoglimenti...
$e^(4x) - e^(2x+2)-e^(2x)+e^2<0$

$e^(2x) (e^(2x) - e^2) -(e^(2x)-e^2)<0$

$(e^(2x)-1) (e^(2x) - e^2) <0$

... differenza di quadrati...
$(e^x-1)(e^x+1) (e^x - e)(e^x + e) <0$

... ecc...

[Quasar3.14]

Scusami, mi rendo conto di aver fatto un casino di errori di distrazione e di trascrizione dell’esercizio sul forum.

Meglio
$-2 \le x \le 2$

Si, scusa, radice di 4, +-2

Direi di no...
$sqrt2 - e^(x-3) >0$

$sqrt2 > e^(x-3) $

$1/2 ln 2 > x-3 $

Errore nello scrivere l'esercizio qui sul forum, sotto radice c'è $e$

Per questa ragione ho fatto è $ e^(1/2) > e^(x-3)$
Da qui poi $1/2 > x-3$ da cui poi mi è uscito $7/2$ E quindi le soluzioni [-2,+2].
L’errore però che ho commesso nell’esercizio successivo mi fa pensare che questa soluzione non sia corretta a causa della presenza della sottrazione del -3, giusto?

Riguardo all’ultimo esercizio, in effetti non mi è chiaro quando posso “passare” al confronto degli esponenti avendo gli esponenti tutta la stessa base.
Con la semplificazione che hai effettuato posso procedere a trovare le soluzioni ponendo ogni singolo parentesi <0 e trovando le singole soluzioni ?
Quindi, ad esempio, $(e^x-1)<0$ --> $e^x<1$ --> $x<0$

[Quinzio]

Riguardo all’ultimo esercizio, in effetti non mi è chiaro quando posso “passare” al confronto degli esponenti avendo gli esponenti tutta la stessa base.

Non c'e' una regola generale per risolvere questi esercizi, si cerca di volta in volta di applicare il metodo migliore usando quello che uno ha nella sua "cassetta degli attrezzi".
Comunque si cerca di semplificare al massimo le espressioni.

[Quasar3.14]

Ti ringrazio, ho visto la disequazione con tutte basi uguali e ho subito pensato di poter "passare" ai denominatori senza pensare a semplificare.

Mi potresti dire, cortesemente, se come ho proseguito con i due esercizi è corretto oppure se c'è per caso qualche errore che mi è sfuggito?
Nel senso è corretto $ e^(1/2) > e^(x-3)$ passare al confronto degli esponenti oppure essendo $e^(x-3) = (e^x/e^3) $ è necessario procedere in altro modo?

Nella seconda disequazione, $(e^x-1)(e^x+1) (e^x - e)(e^x + e) <0$ è corretto studiare separatamente ogni parentesi?

Grazie ancora per l'aiuto.

[@melia]

Per il primo esercizio puoi passare a confrontare direttamente gli esponenti.

Per il secondo, invece, puoi semplificare i fattori sempre positivi, che non modificano il segno del prodotto. Poi devi studiare il segno degli altri due fattori mettendoli $>0$ perché non stai ancora risolvendo la disequazione, ma studiando il segno dei fattori. A questo punto, nel grafico dello studio dei segni cerchi la zona in cui il prodotto è negativo (adesso stai risolvendo la disequazione).

[Quasar3.14]

Grazie per l'aiuto.

I fattori sempre positivi sono $(e^x+1)$ e $(e^x + e)$ in quanto un esponenziale è per definizione sempre una quantita positiva e in questo caso viene anche sommato ad una quantita positiva 1 ed e.

Ho posto $ (e^x-1)>0$ e $ (e^x - e)>0$ ottenendo come risultato $x>0$ e $x>1$

Mettendo sul grafico la soluzione risulta essere $(0,1)$

Ti rinnovo i miei ringraziamenti per il tuo aiuto, avrei solo una domanda, ho potuto semplificare le quantità sempre positive perchè ad esempio $(e^x > -1)$ è una disequazione sempre vera per ogni valore che assume la x, è corretto?

[@melia]

ho potuto semplificare le quantità sempre positive perchè ad esempio $(e^x > -1)$ è una disequazione sempre vera per ogni valore che assume la x, è corretto?

Esattamente