Aiuto: soluzioni disequazione con parametri

[espreca]

Salve,

sintetizzo qui la disequazione incriminata e i procedimenti che ho fatto per provare a risolverla, sperando qualcuno arrivi in mio soccorso :

$\frac{1}{x-a} \le \frac{1}{2x-b}$

Condizioni di esistenza:
$ x \ne a $
$ x \ne b/2 $

Ho provato a risolverla in due modi diversi, entrambi non adatti a questa disequazione secondo me, ma non conosco altri metodi:

1 modo) suppongo $2x - b > 0, x > b/2$per moltiplicare ambo i membri per $ 2x -b $

$\frac{2x-b}{x-a} \le 1$

Dopodichè comincio con analizzare la disequazione e trovare le soluzioni perchè quella frazione sia $\le 1$:

1) la frazione è uguale a 1, e quindi:

$2x-b = x-a$
$x = b -a $ è soluzione

2) la frazione è minore di 1 ma positivo, e quindi numeratore e denominatore positivi, numeratore < denominatore:

$2x-b > 0$
$x-a > 0$
$2x-b < x-a$

$x > b/2 $
$x > a$
$x< b-a$

da qui ho cercato di mettere insieme i risultati per trovare la relazione tra b e a:
$a<x< b-a $
$a< b-a $
$2a< b $

b/2 è maggiore di a perciò ho scritto come soluzione di questo caso:

$b/2 < x < b-a$

che concorda la supposizione data $x > b/2$

3) la frazione è minore di 1 ma positivo, ma con numeratore e denominatore negativi, numeratore > denominatore:

$2x-b < 0$
$x-a < 0$
$2x-b > x-a$

$x < b/2 $
$x < a$
$x > b-a$

per $b < 2a$
soluzione: $b-a<x< a $

4) la frazione è minore di 1 e negativa, quindi numeratore positivo, denominatore negativo:

$2x-b > 0 $
$x-a < 0 $

$x > b/2 $
$x < a $

$ b/2 < x < a$
$ b/2 < a$
$ b < 2a$

mettendo insieme la soluzione di questo caso diventa $b/2 < x < a$

5) gli altri casi in cui la frazione è minore di 1 e negativa, suppongono il numeratore negativo che va contro la supposizione iniziale

ora suppongo $2x - b < 0, x < b/2$per moltiplicare ambo i membri per $ 2x -b $ e cambiare il segno della disequazione

$\frac{2x-b}{x-a} \ge 1$

Dopodichè comincio con analizzare la disequazione e trovare le soluzioni perchè quella frazione sia $\ge 1$:

1) frazione maggiore di 1, se (essendo numeratore negativo) il denominatore è anch'esso negativo e numeratore < denominatore:

$2x-b < 0 $
$x-a < 0 $
$2x-b < x-a $

$x < b/2$
$ x < a$
$ x < b - a$

qua non so quantificare b/2, a e b-a perciò non sono riuscito a trovare delle soluzioni per questo caso
forse solo $x < a$ ?

mettendo insieme le soluzioni trovate per questo modo di fare:

per b > 2a, $b/2 < x <= b-a$ e $b/2 < x < a$, come si uniscono ?
per b < 2a, $b/2 < x < a$
per b = 2a, $x < a$ (trovato sostituendo il valore nella disequazione originaria e ragionandoci su)



2 modo) qui non ho effettuato sostituzioni ma ho analizzato la disequazione così come si presenta:

perchè $\frac{1}{x-a}$ sia minore o uguale di $\frac{1}{2x-b}$ allora ci sono più scenari possibili:

1) le frazioni sono uguali:
$x-a = 2x-b $
$x = b - a$

2) i denominatori sono entrambi positivi e x-a è più grande
$x-a > 0$
$2x-b > 0$
$x-a > 2x -b$

$x > a$
$x > b/2$
$x< b-a$

per $b > 2a$
soluzione: $b/2<x<b-a$

3) x-a è negativo e 2x-b è positivo
$x-a < 0$
$2x-b > 0$

$x < a$
$x > b/2$

per $b < 2a$
soluzione: $b/2 <x < a$

4) denominatori entrambi negativi e 2x-b più grande di x-a
$x-a < 0$
$2x-b < 0$
$x-a < 2x -b$

$x < a$
$x < b/2$
$x >b-a$

per $b<2a$

soluzione: $b-a < x < b/2$

concludendo nel secondo modo le soluzioni trovate sono:

per $b > 2a$ soluzione: $b/2<x<=b-a$
per $b<2a$ soluzione: $b/2 <x < a$ e $b-a < x < b/2$
per $b = 2a$ la stessa soluzione dell'altro modo

Le soluzioni del libro includono le mie ma ne aggiunge altre, il mio ragionamento deve essere pieno di disaccortezze, aiuto

[axpgn]

m.c.m. del denominatore no?

[espreca]

ok, così trovo:

$\frac{b-a-x}{(x-a)(2x-b)} \ge 0$

è uguale a zero per $x = b - a$

è maggiore di zero se:

1)

$b-a-x > 0$
$(x-a)> 0$
$(2x-b)>0$

da cui:

$x < b-a$
$x >a$
$x > b/2$

soluzione: $b/2 < x < b-a$ e $b>2a$

2)

$b-a-x > 0$
$(x-a)< 0$
$(2x-b)<0$

da cui:

$x < b-a$
$x <a$
$x < b/2$

qui come si mettono insieme le soluzioni ? aiuto

io metterei soluzione per $x < min(b-a, a, b/2)$


3)

$b-a-x < 0$
$(x-a)< 0$
$(2x-b)>0$

da cui:

$x > b-a$
$x < a$
$x > b/2$

soluzione: $b-a < x < a$ e $b<2a$

4)

$b-a-x < 0$
$(x-a)> 0$
$(2x-b)<0$

da cui:

$x > b-a$
$x > a$
$x < b/2$

soluzioni: $b-a < x < b/2$ per $b<2a$ e $a < x < b/2$ per $b>2a$


ora è meglio ?

[Noodles]

Trattandosi di una disequazione fratta:

$(x+a-b)/((x-a)(2x-b)) lt= 0$

ti conviene concludere con un grafico del segno. Vero è che devi discutere l'ordine delle espressioni sottostanti:

$-a+b$

$a$

$b/2$

Ad ogni modo, insolito che tu abbia due parametri. Sei sicuro che non ci siano almeno delle condizioni?

[sellacollesella]

Fissati \(a,b\in\mathbb{R}\), si ha: \[
\frac{1}{x-a}\le\frac{1}{2x-b}
\quad\Leftrightarrow\quad
\frac{1}{x-a}-\frac{1}{2x-b}\le 0
\quad\Leftrightarrow\quad
\frac{x+a-b}{(x-a)(2x-b)}\le 0.
\] Pertanto, studiando la positività di ogni fattore, si ha:

• \(x+a-b\ge 0\) se e solo se \(x \ge b-a\);
  
  
• \(x-a>0\) se e solo se \(x>a\);
  
  
• \(2x-b>0\) se e solo se \(x>\frac{b}{2}\).

Non rimane che eseguire il prodotto dei segni e per farlo dobbiamo distinguere tre casi:

• se \(a<\frac{b}{2}\) la soluzione è ...
  
  
• se \(a=\frac{b}{2}\) la soluzione è ...
  
  
• se \(a>\frac{b}{2}\) la soluzione è ...

Insomma, solito procedimento, ma con l'appesantimento di dover distinguere tre casi.

[axpgn]

Mi è venuto il mal di testa

Non ho controllato tutto, mi son perso prima ...

Comunque usa il metodo solito ovvero studia il segno, separatamente, del numeratore e del denominatore e poi vedi sono concordi e dove no.

[espreca]

ora mi sono venute le soluzioni del libro. Grazie a tutti.

PS: alcune volte l'ordine delle espressioni veniva da come si incastravano le soluzioni nello studio del segno, altre invece ho dovuto studiare ognuno dei 3 casi.

[sellacollesella]

Completando quanto sopra scritto, il prodotto dei segni porge:



da cui, in definitiva:

• se \(a<\frac{b}{2}\) la soluzione è \(x<a\,\vee\,\frac{b}{2}<x\le b-a\);
  
  
• se \(a=\frac{b}{2}\) la soluzione è \(x<\frac{b}{2}\);
  
  
• se \(a>\frac{b}{2}\) la soluzione è \(x\le b-a\,\vee\,\frac{b}{2}<x<a\).

Naturalmente questo non vuol dire che le soluzioni sul libro debbano necessariamente essere stampate così. Per esempio, quando \(a=\frac{b}{2}\) la soluzione è \(x<\frac{b}{2}\), ma allo stesso modo la si può scrivere come \(x<a\) e così via. A mio avviso, l'importante è comprendere che l'algoritmo risolutivo è sempre lo stesso, l'unica differenza è che quando ci sono dei parametri occorre distinguere vari casi per poter eseguire il prodotto dei segni.

[espreca]

Grazie mille davvero

[@melia]

Per cortesia non iniziare i tuoi titoli con Aiuto, se posti qui è abbastanza chiaro che hai bisogno di aiuto.