Ciao, io sto studiando la formula di ricorrenza dei coefficienti binomiale ma non riesco a spiegarmi un passaggio della dimostrazione che passa per la definizione di coefficiente binomiale:
$((n),(k))=\frac{n(n−1)(n−2)...(n−k+1)}{k!}$
tramite questa definizione la dimostrazione di $((n),(k))=((n-1),(k))+((n-1),(k-1))$ inizia con:
$((n-1),(k))+((n-1),(k-1))=\frac{(n−1)(n−2)...(n−k+1)}{(k−1)}!+\frac{(n−1)(n−2)...(n−k)}{k!}=\frac{(n−1)(n−2)...(n−k+1)k+(n−1)(n−2)...(n−k)}{k!}$
Fin qui tutto ok, poi succede qualcosa che probabilmente è una semplice proprietà del prodotto ma che non riesco a comprendere, il secondo membro della somma al numeratore viene semplificato aggiungengo k all'ultimo termine:
$\frac{(n−1)(n−2)...(n−k+1)k+(n−1)(n−2)...(n−k)}{k!} =\frac{(n−1)(n−2)...(n−k+1)(k+n−k)}{k!}$
dall'ultimo passaggio poi è chiaro che diventa uguale a $((n),(k))$ ma quella semplificazione non me la spiego.
Qualcuno può applicare lo stesso principio in un esempio più facile da capire?
Grazie mille