Retta tangente ad una funzione irrazionale

[Francy2005]

Buongiorno,
Sono alle prese con un problema del capitolo dello studio di funzioni.
Il testo mi propone la seguente funzione:
$f(x)=3x(1-x/sqrt(2+x^2))$
Dopo altri punti del problema che sono riuscita a risolvere, mi sono bloccata su questo:
d) dato il punto D$(1/2,3/2)$, esterno al grafico della funzione, scrivi le equazioni di tutte le rette passanti per
D e tangenti al grafico di f(x).

Allora,
io sono partita scrivendo il fascio di rette passanti per D, in funzione del coefficiente angolare m:
$y-3/2=m(x-1/2)$
e ho messo questa equazione a sistema con la f(x). Mi trovo un'equazione irrazionale, ho isolato la parte irrazionale dagli altri termini, ho elevato ambo i membri al quadrato ma mi trovo un'equazione di quarto grado che non riesco a risolvere per poter imporre che il delta - in funzione di m - sia pari a 0 (condizione di tangenza). Non credo mi possa aiutare studiare m come come derivata prima della funzione poichè il punto D è esterno alla funzione e non conosco il punto di effettiva tangenza fra il fascio di rette ed f(x).
Per favore c'è qualcuno in grado di potermi aiutare?
Grazie

[sellacollesella]

Sono partita scrivendo il fascio di rette passanti per D, in funzione del coefficiente angolare m:
$y-3/2=m(x-1/2)$
e ho messo questa equazione a sistema con la f(x).

E su questo non ci piove.

Mi trovo un'equazione irrazionale, ho isolato la parte irrazionale dagli altri termini, ho elevato ambo i membri al quadrato ma mi trovo un'equazione di quarto grado che non riesco a risolvere per poter imporre che il delta - in funzione di m - sia pari a 0 (condizione di tangenza).

Sì, \(\Delta=0\) è la condizione di tangenza e la cosa bella è che per determinare \(\Delta\) non si deve risolvere alcuna equazione. Però, se per i polinomi di secondo grado \(p(x)=ax^2+bx+c\) si ottiene \(\Delta=b^2-4ac\), per i polinomi di grado superiore escono delle espressioni chilometriche tipo questa; meglio cambiare strada!

Non credo mi possa aiutare studiare m come come derivata prima della funzione poichè il punto D è esterno alla funzione e non conosco il punto di effettiva tangenza fra il fascio di rette ed f(x).

Sì, è vero, noi di quel fascio di rette conosciamo a priori solo il centro, ma ciò non toglie che tra le infinite rette del fascio le uniche ad essere tangenti al grafico di \(f\) nei punti \((x_0,f(x_0))\) siano tali che \(m=f'(x_0)\).

Quindi, a noi basta imporre: \[
f(x_0)=f'(x_0)\left(x_0-\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{2} \quad\Rightarrow\quad x_0=\dots \quad\Rightarrow\quad m=f'(x_0)=\dots
\] Prova e vedi che ne esce.

[Francy2005]

Grazie! Direi che esce!
Ci avevo pensato ma credevo fosse molto più complicato e invece no!