Problema trigonometria

[HowardRoark]

Allego la foto affinché capiate meglio il problema, comunque lo descrivo anche a parole.
Un robot industriale ha due bracci connessi tra loro che giacciono in un medesimo piano verticale fissato. Il braccio ha lunghezza variabile da 2 a 3 $m$, il braccio più corto ha lunghezza variabile da $20cm$ a $1m$ e termina con un utensile. Il braccio principale è incernierato in un estremo fisso (l'origine degli assi) e, nell'altro estremo, è incernierato al braccio corto, che può ruotare di 360 gradi intorno allo snodo.
Io vorrei trovare la distanza tra il punto $(3,2)$ e lo snodo dei due bracci.

Ho ragionato così: sia $P$ il punto che rappresenta lo snodo. $cos(pi/4) = sqrt(2)/2$ e $sen(pi/4)=sqrt(2)/2$.
Se rappresento la circonferenza con centro nell'origine e raggio $1$, $sqrt(2)/2$ rappresentano l'ascissa e l'ordinata del punto sulla circonferenza di raggio unitario a cui è associato un angolo di $45°$.
Se prolungo il braccio corto fino a farlo toccare perpendicolarmente l'asse $x$, ottengo un triangolo rettangolo isoscele e, per la similitudine, posso scrivere $3/x = 1/(sqrt(2)/2) => x=3*sqrt(2)$
$3$ è l'ipotenusa del triangolo rettangolo maggiore, $x$ è l'ascissa di $P$, $1$ è l'ipotenusa del triangolo rettangolo della circonferenza goniometrica, $sqrt(2)/2$ è la lunghezza del cateto.
La distanza tra i due punti dovrebbe quindi essere $sqrt((3-3sqrt(2))^2 + (2-3sqrt(2))^2)$ ma non è quella giusta, perché immagino che le coordinate di $P$ non siano quelle che ho ricavato. Cosa sto sbagliando?

[sellacollesella]

Essenzialmente sei interessato al calcolo di \(\overline{PQ}\) con \(P(r\cos\alpha,r\sin\alpha)\) e \(Q(3,2)\), dove \(r=3\), \(\alpha=45°\).

[HowardRoark]

Essenzialmente sei interessato al calcolo di \(\overline{PQ}\) con \(P(r\cos\alpha,r\sin\alpha)\) .

Ho un vuoto, perché $P$ ha quelle coordinate? Comunque mi sono dimenticato un $1/2$ da qualche parte mi sembra di capire, perché anche il mio ragionamento non credo sia sbagliato.

[sellacollesella]

Ho un vuoto, perché $P$ ha quelle coordinate?

I punti della circonferenza goniometrica hanno coordinate \((\cos\alpha,\sin\alpha)\), se quindi il raggio
non è più unitario, bensì è genericamente \(r>0\), allora avranno coordinate \((r\cos\alpha,r\sin\alpha)\).

[HowardRoark]

Ha senso, ora c'è da capire cosa c'è che non va nel mio ragionamento. Perché allora $P$ dovrebbe avere coordinate $(sqrt(2)*3)/2, (sqrt(2)*3)/2)$ quando io ho trovato come coordinate di $P$ $(sqrt(2)*3, sqrt(2)*3)$.
[b]EDIT[/b]: ho sbagliato a costruire la proporzione. Le ipotenuse dei due triangoli isosceli (quelli con ipotenusa rispettivamente di $3$ e di $1$) sono proporzionali ai rispettivi cateti ma non è vero che l'ipotenusa del triangolo maggiore sta al cateto del triangolo maggiore come l'ipotenusa del triangolo minore sta al cateto del triangolo minore (scusa la scrittura prolissa ma preferisco essere chiaro )

[sellacollesella]

Se il braccio principale \(OP\) è lungo \(r\) e individua un angolo \(\alpha\) con il semiasse positivo delle ascisse, allora esso individua un triangolo rettangolo con base lunga \(r\cos\alpha\) e altezza lunga \(r\sin\alpha\). Così va meglio?

[HowardRoark]

Se il braccio principale \(OP\) è lungo \(r\) e individua un angolo \(\alpha\) con il semiasse positivo delle ascisse, allora esso individua un triangolo rettangolo con base lunga \(r\cos\alpha\) e altezza lunga \(r\sin\alpha\). Così va meglio?

Sì pensandoci è banale che sia così, io avevo ragionato con una proporzione fra triangoli simili per determinare ascissa e ordinata di $P$ e non capivo perché mi venisse una cosa diversa, ma adesso è chiaro.

[sellacollesella]

Non capivo perché mi venisse una cosa diversa, ma adesso è chiaro.

Bene così.