Riscrittura trinomi

[espreca]

Ciao a tutti,

sto seguendo il libro Precalculus del prof. Bramanti e a un certo punto mi trovo a dover riscrivere alcuni trinomi nella forma $a[(x+\beta)^2+\gamma^2]$

I miei dubbi sono principalmente 2:

1) per svolgere l'esercizio io sviluppo la forma e in questo caso mi viene: $ax^2 + 2a\beta x+ a\beta^2 + a\gamma^2$

e la comparo con il trinomio (ad esempio) $x^2-3x+3$

scrivendo quindi le equazioni di comparazione tra coefficienti dello stesso grado:
$a=1$
$2a\beta = -3$
$ a\beta^2 + a\gamma^2=3$

trovando: $(x-3/2)^2+3/4$
il metodo è giusto o ne esiste uno ad hoc più efficace?


2) se volessi inventarmi una nuova forma equivalente in cui riscrivere il trinomio, che passi dovrei seguire?


Grazie mille

[sellacollesella]

Io applicherei il cosiddetto metodo del completamento dei quadrati: \[
x^2-3x+3=x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+3=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\,.
\] Riscrivere quel trinomio in quella forma è molto utile nella risoluzione di equazioni/disequazioni, dato che
si palesa essere una quantità strettamente positiva. Ma è molto utile anche nel calcolo di alcuni integrali.

Altro contesto potrebbe essere quello geometrico, in cui si ha: \[
x^2+y^2-6x+5=0 \quad\Rightarrow\quad x^2-6x+9+y^2+5=9 \quad\Rightarrow\quad (x-3)^2+(y-0)^2=4
\] dove l'utilità sta nel poter riconoscere subito una circonferenza di centro \((3,0)\) e raggio \(2\).

Insomma, il modo in cui riscrivere un polinomio è dettato dal contesto in cui si opera.

[espreca]

Grazie mille, non lo conoscevo questo metodo e devo dire che sembra abbastanza potente

invece un binomio del genere di grado > 2:

$x^4+1$

sul libro viene fattorizzato in questa maniera:

$(x^4+2x^2+1)-2x^2 = (x^2+1)^2 -2x^2 = (x^2+1-\sqrt(2)x)(x^2+1+\sqrt(2)x)$

ma che cacchio di metodo sta utilizzando qui

[sellacollesella]

Questo è un altro trucco in cui sommando e sottraendo un certo monomio si fa comparire una differenza di quadrati, che a sua volta risulta facilmente fattorizzabile. Questo magheggio viene comodo nella risoluzione di alcuni integrali in cui si necessita scomporre il denominatore, altrove non l'ho mai visto mettere in atto.

Mi fa davvero strano che esistano dei libri dove elencano questi "trucchi del mestiere" uno in fila all'altro, li ho sempre visti contestualizzati e ogni volta che ne scoprivo uno a me ignoto mi dicevo ... eccone un altro ...

[espreca]

Sul libro quest'ultimo trucchetto è stato usato su un esempio per dimostrare il teorema di fattorizzazione dei polinomi a coefficienti reali.

Quindi suppongo che quest'ultimo viene dall'esperienza più che da un metodo formale...

[sellacollesella]

In matematica, una delle arti più interessanti e anche difficili per un non matematico come me è quella di saper costruire delle disuguaglianze, per poter a sua volta dimostrare delle proposizioni, e per farlo è bene saper manipolare le espressioni a proprio vantaggio, specialmente i polinomi. A tal proposito hanno scritto interi libri solo su questi aspetti, dalle disuguaglianze più ingenue a quelle più sofisticate. Pertanto, suppongo che il Bramanti snoccioli quelle più comuni, ossia quelle che ti serviranno nel breve termine proseguendo lo studio della matematica (analisi 1 e analisi 2 suppongo). Tutte le altre le vedrai, semmai, in corsi specialistici.