Dubbio risultato libro esercizio trigonometria

[Max321]

Buongiorno ho risolto il seguente esercizio del libro:

“Dato il quadrato abcd di lato a, sia r una retta passante per B e non intersecante altri punti del quadrato. A’ e C’ sono le proiezioni su r rispettivamente A e C. Determina l’angolo A’BA=x in modo che l’area del trapezio A’ACC’ sia 3/4a^2.”

Non ho avuto grandi problemi nel risolvere l’esercizio e ho trovato la soluzione π/12 indicata nel libro.
Il punto è che il libro menziona anche una seconda soluzione che è 5/12π che non capisco da dove salti fuori.

L’equazione risolutiva che mi ha permesso di trovare la prima soluzione ossia π/12 è:

(Senx+cosx)^2=±√(3/2)

Quindi da qui ho trovato π/12 ma 5/12π?

Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà come sempre.

[sellacollesella]

Trattandosi di un trapezio, deve essere: \[
\frac{\overline{AA'}+\overline{CC'}}{2}\,\overline{A'C'}=\frac{3}{4}a^2
\] ossia: \[
\frac{a\sin(x)+a\cos(x)}{2}\left(a\cos(x)+a\sin(x)\right)=\frac{3}{4}a^2
\] da cui: \[
a^2\left(\sin(x)\frac{1}{\sqrt{2}}+\cos(x)\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{3}{4}a^2
\] ossia: \[
a^2\left(\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)^2=\frac{3}{4}a^2
\] da cui: \[
a^2\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{4}a^2\,.
\] Essendo \(a>0\) e \(0<x<\frac{\pi}{2}\), deve necessariamente essere: \[
\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
\quad\Leftrightarrow\quad
x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}\quad\vee\quad x+\frac{\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{3}
\] ossia le due soluzioni riportate sul libro: \[
\boxed{x=\frac{\pi}{12}\quad\vee\quad x=\frac{5\pi}{12}}
\] Vedi un po' se torna.

[Max321]

Capito! Grazie mille