Disequazione goniometrica associata ad esercizio trigonometria

[Max321]

Buongiorno,

Esattamente come nel caso precedente ho problemi con la disequaione goniometrica associata al problema di trigonometria di cui vi risparmio la traccia.
Sono sicuro di essere arrivato ad imporre la disequazione corretta solo che mi blocco arrivato al calcolo di cui in foto allegata.

Quando nella foto vedete che spunta ≤1+√3 è perché all’inizio non avevo spazio (è la condizione imposta dal libro).




Risultato. 0<x<45

[Max321]

Come non detto avevo fatto un sacco di errori che ho corretto ma mi sono ugualmente bloccato a questo punto. Sapreste aiutarmi?

[sellacollesella]

Sottrai ambo i membri della disequazione \(1+\sqrt{3}\), fai il minimo comune multiplo dei denominatori, quindi divertiti nell'applicare alcune identità goniometriche per ricondurti ad una disequazione del tipo \(\frac{a+b\cos(\cdot)}{c+d\sin(\cdot)}\le 0\).

Al solito, il consiglio è quello di scrivere sin dal principio il testo del problema copiandolo alla lettera dal libro, quindi di mostrare i propri tentativi risolutivi fino al punto dove ci si blocca. Per farlo, da regolamento è necessario avvalersi delle rispettive formule, che sono certo imparerai ad utilizzare molto velocemente.

[Max321]

Il problema è che sono senza PC e quindi scriverle con le regole tramite iphone è davvero difficile. Se per voi va bene pubblico la traccia e il mio svolgimento tramite foto

[sellacollesella]

Per quel che mi riguarda non fa alcuna differenza, solamente che prima o poi i moderatori non te lo permetteranno, in quanto le immagini nel tempo vanno perse e ci si ritroverebbe con un forum di sole risposte. Quindi, ecco, se è una cosa momentanea va bene, altrimenti potrebbe essere un problema.

[Max321]

Ecco la traccia e allego anche la mia soluzione cui sono bloccato:

“È dato il triangolo ABC tale che AB=3 e l angolo CAB=60, mentre l’angolo ABC vale 2x. Traccia la bosettrice dell’angolo ABC che incontra il lato AC nel punto P, considera la funzione f(x)= AC/AP e nei limiti proposti dal problema, risolvi la disequazione f(x)≤1+√3.

Sono bloccato a quel punto

[Max321]

-nella risposta precedente c’è traccia e prima parte soluzione-.
Sono andato avanti seguendo il tuo consiglio e arrivo alla fine ma la soluzione non coincide col libro in quanto dovrebbe essere 0<x<45

[sellacollesella]

La prima cosa che ti consiglio è di scrivere il più grande intervallo in cui può spaziare l'angolo \(x\).

Quindi, rivedi gli ultimi conti e soprattutto non dimenticarti del denominatore: \[
\frac{\overline{AC}}{\overline{AP}}\le 1+\sqrt{3}
\quad\quad\Rightarrow\quad\quad
\frac{1-2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)}\le 0\,.
\] Fai tutto con calma e vedrai che uscirà proprio il risultato del libro.

[Max321]

Sono riuscito a risolvere la fratta che hai postato ma non ho capito come ci sei arrivato mi faresti vedere gentilmente?

[sellacollesella]

Innanzitutto abbiamo a che fare con un triangolo ABC, quindi devono valere: \[
\begin{cases}
0<\frac{\pi}{3}<\pi\\
0<2x<\pi\\
0<\frac{2\pi}{3}-2x<\pi\\
\end{cases}
\quad\quad\Leftrightarrow\quad\quad
0<x<\frac{\pi}{3}
\] ossia, a prescindere da tutto ciò che seguirà, la soluzione dovrà stare lì dentro.

Quindi, come hai ben scritto, si ha: \[
\frac{\overline{AC}}{\overline{AP}}\le 1+\sqrt{3}
\quad\quad\Rightarrow\quad\quad
\frac{3\sin(2x)}{\sin\left(\frac{2\pi}{3}-2x\right)}\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}-x\right)}{3\sin(x)}\le 1+\sqrt{3}
\] che equivale a scrivere: \[
\frac{2\cos(x)\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(1+\sqrt{3}\right)\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)}\le 0
\] ossia: \[
\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\,\cos(2x)+\frac{1}{2}\,\sin(2x)-\left(1+\sqrt{3}\right)\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)}\le 0
\] da cui: \[
\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)}\le 0\,.
\] Tenendo conto della restrizione di cui sopra, la soluzione risulta essere \(0<x\le \frac{\pi}{4}\).