Ruffini o non Ruffini

[Marco1005]

Salve a tutti, rieccomi con un piccolo dubbio sulla scomposizione di polinomi di grado superiore al secondo;
esempio: $x^3-x+6$
in questi casi provo a trovare il $p(x)=0$ cercandolo tra i divisori del termine noto.
a questo punto trovo che la x che mi rende il polinomio uguale a zero è $-2$
quindi il polinomio è divisibile per $(x+2)$
$(x^3-x+6):(x+2)$
a questo punto ho due strade:
o utilizzo la "matrice" (so che non è il termine esatto) di Ruffini, o faccio la normale divisione tra polinomi.
il risultato è $x^2-2x+3$
moltiplicando $(x^2-2x+3)(x+2)=x^3-x+6$


Nel caso in cui invece l'esercizio mi dia già la divisione impostata, es:
$(5a^2+2a-1):(a+2)$ capisco che se il polinomio è divisibile per $(a+2)$ significa che il numero da inserire con il metodo di Ruffini è il $-2$.
Nel primo metodo il $-2$ annullava il polinomio $x^3-x+6$
1)perchè in questo secondo caso invece $-2$ non annulla $5a^2+2a-1$?
2)in molti esercizi il testo dice "utilizzare le regola di Ruffini, quando possibile", quando sarebbe impossibile utilizzarla?

Grazie mille come sempre

[axpgn]

Forse perché NON è divisibile?

[sellacollesella]

Dati due polinomi \(A(x)\) e \(B(x)\ne 0\), per determinare i polinomi \(Q(x)\) ed \(R(x)\) tali che: \[
A(x)=B(x)\,Q(x)+R(x)
\] possono capitare due casi:

• se \(\deg(A) < \deg(B)\), allora \(Q(x)=0\) ed \(R(x)=A(x)\);
  
  
• se \(\deg(A) \ge \deg(B)\), allora si applica la divisione polinomiale.

Solamente nei casi fortunati in cui si ha: \[
B(x):=x-x_0
\] con \(x_0\in\mathbb{R}\) possiamo determinare \(Q(x)\) ed \(R(x)\) applicando la regola di Ruffini dove, tra l'altro,
per il teorema del resto sappiamo che \(R(x)=A(x_0)\) e qualora sia nullo \(x_0\) è uno zero di \(A(x)\).

[Marco1005]

Forse perché NON è divisibile?

Alex ma la divisione la posso fare, viene con il resto ma riesco a farla

[Marco1005]

Forse perché NON è divisibile?

Alex ma la divisione la posso fare, viene con il resto ma riesco a farla

da $(5a-8)+15$

[sellacollesella]

la divisione la posso fare, viene con il resto ma riesco a farla

A patto che \(B(x)\ne 0\), la divisione \(A(x)/B(x)\) la puoi sempre fare e risulta \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\). D'altro canto, solamente quando si ottiene \(R(x)=0\) si dice che \(A(x)\) è divisibile per \(B(x)\). Tutto qui.

[axpgn]

Forse perché NON è divisibile?

Alex ma la divisione la posso fare, viene con il resto ma riesco a farla

Ovvio ma se il resto è diverso da zero NON è divisibile

[Marco1005]

Ovvio ma se il resto è diverso da zero NON è divisibile

riassumo per i miei neuroni:
prendo un polinomio a caso es:
$5a^3+12a^2+3a-2$
se dall'analisi dello stesso riesco a trovare un $p(x)=0$ allora il polinomio è divisibile con resto zero.
in questo caso il polinomio si azzera con $x=-2$
pertanto risulta divisibile per $x+2$ con resto $0$
è pertanto applicabile la scomposizione tramite la matrice di Ruffini.

Se invece avessi avuto un altro polinomio per il quale non si riesce a trovare un termine
che ne azzeri il valore allora l'esercizio viene scritto (solitamente) già come quoziente di due polinomi(esempio precedentemente citato):

$(5a^2-2a+1):(a+2)$
in questo caso sostituendo il $-2$ non ho l'azzeramento, quindi il polinomio è divisibile con resto
e quindi si preferisce utilizzare come risoluzione la classica tabellina di divisione tra polinomio rispetto
a Ruffini (che poi viene la stessa cosa)
Puo' andare? ditemi di si

[Marco1005]

Sella scusa l'ignoranza ma "deg" che è?

[axpgn]

"deg" è grado (degree in inglese)
Comunque se il resto è diverso da zero NON è divisibile esattamente come per i numeri interi.
$7$ è divisibile per $3$? NO perché il resto è diverso da zero.
Ricordo che un numero intero $a$ è divisibile per un numero intero $b$ se $a$ è un MULTIPLO intero di $b$.