Massimi e minimi vincolati

[Marco1005]

Rieccomi,
ho già svolto questo esercizio e risultava perfettamente. Ma facendolo in modo diverso non viene e non capisco perchè.
Determina massimi e minimi vincolati utilizzando il metodo della sostituzione:

$z=3xy$
vincolo : $2y-x^2+x=0$

isolo la x

$x=x^2-2y$

sostituisco nella z

$z=3y(x^2-2y)$

$z=3x^2y-6y^2$

trovo le rispettive derivata parziali prime

$z'_x=6xy$
$z'_y=3x^2-12y$

devo fare in modo che entrambe diventino zero;

$6xy=0$ per $x=0$ e $y=0$

nella seconda isolo la y
$-12y=-3x^2$

$y=1/4x^2$

e trovo sempre $x=0$ e $y=0$

il libro però mi da come risultati massimo in $(0,0)$ e minimo in $(2/3;-1/9)$

dati che sono riuscito a trovare isolando nel vincolo la y.
Domanda ma non dovrebbe essere la stessa cosa se isolo la x piuttosto che la y nel vincolo?
Dove cavolo sto sbagliando, l'ho rifatto 3 volte.
Grazie mille

[ghira]

in che senso avresti isolato la x all"inizio?

[@melia]

Non ho capito perché dal vincolo ti sei ricavato la $x$, in questo modo la funzione obiettivo resta in due variabili.
Dal vincolo ho ricavato la y, $y=1/2(x^2-x)$ e l’ho sostituito nella funzione obiettivo $z=3/2(x^3-x^2)$
Lo studio si riduce ad una semplice cubica.

Se volevi isolare la $x$ non dovevi tenerti $x^2$ quindi $x^2-2x-y=0$ diventa
$x_(1,2)=(1+-sqrt(1-y^2))$ da qui devi studiare le due funzioni obiettivo ottenute.

[Marco1005]

in che senso avresti isolato la x all"inizio?

nel vincolo tengo la x a sinistra e il resto a destra.

[Marco1005]

Non ho capito perché dal vincolo ti sei ricavato la $x$, in questo modo la funzione obiettivo resta in due variabili.

Perchè era la piu comoda
avevo già fatto questo esercizio uguale a come l'hai svolto tu, ma oggi non so perchè ho cambiato versione.

@melia scusa ma era $2y$ non $2x$
In questi esercizi quindi devo isolare in modo che dall’altra parte rimanga una sola tipologia di variabile giusto?
Quindi non isolare la variabile più comoda, ma quella che mi permette di trasformare una funzione in due variabili in una sola.
Se invece mi sbaglio non riesco a proseguire (come è successo a me) oppure si può lo stesso?
Ad esempio nel mio caso , pur avendo sbagliato, c’era un modo diverso di proseguire dopo aver impostato il sistema che azzerava le derivate prime, per trovare gli stessi risultati?

[ghira]

in che senso avresti isolato la x all"inizio?

nel vincolo tengo la x a sinistra e il resto a destra.

non è vero

isolo la x

$x=x^2-2y$

$x$ a sinistra. $x$ a destra.

[Marco1005]

in che senso avresti isolato la x all"inizio?

nel vincolo tengo la x a sinistra e il resto a destra.

non è vero

isolo la x

$x=x^2-2y$

$x$ a sinistra. $x$ a destra.

Hai ragione - non ho isolato un bel niente - questo non significa isolare.