Equazioni goniometriche

[claudiaspicciani]

Ho dei dubbi rispetto alla scrittura delle soluzioni di alcune equazioni goniometriche quando il valore del coseno, del seno e della tangente sono negativi e non noti.
Vi porto alcuni esempi.

$cos(x) = -1/4$
$x = π - arccos(1/4) + 2kπ$
$x = π + arccos (1/4) + 2kπ$

$sin(x) = -2/5$
$x = π + arcsin (2/5) + 2kπ$
$x = 2π - arcsin (2/5) + 2kπ$

$tan(x) = -3/2$
$x = π - arctan (3/2) + 2kπ$
$x = 2π - arctan (3/2) + 2kπ$
oppure
$x = π - arctan (3/2) + kπ$

Innanzitutto: le soluzioni sono scritte correttamente? Per scriverle ho seguito le indicazioni di YouMath, che suggerisce di inserire sempre i moduli dei valori proposti (perché?). Io avrei scritto quanto sopra ma avrei associato sempre il meno al numero tra parentesi.

Inoltre alcuni calcolatori online scrivono le soluzioni in modo diverso, alcuni di questi non usano i moduli, e nel momento in cui non usano questo schema noto che vi ho proposto, non riesco a individuare i risultati sulla circonferenza. Mi aiutereste a fare chiarezza nella mia testa?

[sellacollesella]

Fissato \(-1 \le u \le 1\), si ha: \[
\cos(z)=u \quad\Leftrightarrow\quad z=\arccos(u)+2k\pi \,\vee\, z=-\arccos(u)+2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}
\] individuabili intersecando la circonferenza \(x^2+y^2=1\) con la retta \(x=u\).


Fissato \(-1 \le v \le 1\), si ha: \[
\sin(z)=v \quad\Leftrightarrow\quad z=\arcsin(v)+2k\pi \,\vee\, z=\pi-\arcsin(v)+2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}
\] individuabili intersecando la circonferenza \(x^2+y^2=1\) con la retta \(y=v\).


Fissato \(w \in \mathbb{R}\), si ha: \[
\tan(z)=w \quad\Leftrightarrow\quad z=\arctan(w)+k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}
\] individuabili intersecando la circonferenza \(x^2+y^2=1\) con la retta \(y=w\,x\).


D'altro canto, ricorda che \(\arcsin(-z)=-\arcsin(z)\) e \(\arctan(-z)=-\arctan(z)\), mentre \(\arccos(-z)\ne-\arccos(z)\), quindi in quest'ultimo caso tocca tenersi l'argomento così com'è.

Naturalmente poi ci sono altre identità goniometriche, come \(\arccos(z)=\frac{\pi}{2}-\arcsin(z)\), quindi ne discende che \(\arccos(-z)=\frac{\pi}{2}+\arcsin(z)\), ma sono tutte manipolazioni di cui non devi preoccuparti troppo, basta ragionare sempre sulla circonferenza goniometrica, unica amica fedele, altrimenti rischi di impazzire!

[giammaria]

... le soluzioni sono scritte correttamente? Per scriverle ho seguito le indicazioni di YouMath, che suggerisce di inserire sempre i moduli dei valori proposti (perché?). Io avrei scritto quanto sopra ma avrei associato sempre il meno al numero tra parentesi.

E' leciton agire come tu proponi, ma quando si può conviene fare in modo che sia positivo l'argomento di $arcsin x, arccos x, arctan x$ perché allora sai che si tratta di un angolo fra $0$ e $pi/2$, facile da vedere ed utilizzare. Invece con argomenti negativi devi sempre chiederti se l'angolo è ottuso o negativo ed in entrambi i casi è scomodo proseguire nel ragionamento.
Ribadisco quello che ti ha già detto sellacollesella: ragiona sempre sul cerchio goniometrico, che è un validissimo aiuto.

[claudiaspicciani]

Grazie mille per i chiarimenti, ragazzi!