Scusate se posto un'immagine, ma visto il problema non saprei come fare altrimenti.
In realtà credo di aver svolto bene l'esercizio, ma visto che i miei risultati non coincidono con quelli del libro chiedo a voi chiarimenti.
L'equazione dell'ellisse è $x^2/9 + y^2/4 = 1$. I lati minori del rettangolo giacciono sulle rette di equazioni $x=+-5/2$. Quindi, per trovare le coordinate del punto $A$ in figura, basta impostare:
$\{(x^2/9 + y^2/4=1), (x=5/2):}$ e si trova $A(5/2,sqrt(11)/3)$.
Queste però non sono le coordinate che soddisfano la condizione $tanalpha=2$; per trovare queste ultime basta osservare che $A$ deve appartenere all'ellisse e alla retta $y=2x$ (il seno di $alpha$ dev'essere il doppio del coseno di $alpha$):
$\{(x^2/9 + y^2/4=1),(y=2x):}$.
Trovo quindi $x=sqrt(9/10)$, e questa corrisponde con la soluzione del libro.
Per trovare l'ordinata sostituisco questo valore nell'ellisse: $(9/10)/9 + y^2/4 = 1 => y = sqrt(18/5)$, ordinata che però non coincide con la soluzione del libro.
C'è qualcosa di sbagliato nel mio procedimento?
