relazione tra triangolo e raggio circonferenza inscritta

[IvanTerr]

Un triangolo circoscritto ad una circonferenza ha le altezze relative ai lati che sono tre raggi; detti a,b,c i lati dei triangoli ottenuti congiungendo i vertici del triangolo circoscritto al centro del cerchio, si ricava l'area per ognuno di essi che è: $A_1\ = 1/2\ a*r$, $A_2\ =1/2\ b*r$ e $A_3\ =\ 1/2\ c*r$; sommando tutti e tre questi triangoli si ricava: $A_1+A_2+A_3\ =\ 1/2\ r*(a+b+c)$. Se si indica con P la semisomma dei lati, ovvero il semiperimetro, e con $A_t$ la superficie totale, si ottiene: $A_t\ =\ P*r$. Tale formula consente di trovare il raggio del cerchio inscritto ad un triangolo noto il perimetro e l'area del triangolo stesso.
Ricordando che nel triangolo equilatero il perimetro è 3l e il semiperiodo e p = 3/2l, applicando Erone si ha: $A\ = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))\ =\ sqrt(3/2l(3/2l-l)(3/2l-l)(3/2l-l))\ =\ sqrt(3/2l(1/2l)^3)\ (1)\ =\ sqrt(3/2l*1/8l^3)\ =\ sqrt(3)/4l^2$, dividendo quest'area per il semiperiodo si ricava il raggio: $sqrt(3)/4l^2*2/(3l)\ =\ sqrt(3)/6l$ quando il triangolo circoscritto è, appunto, un triangolo equilatero.
Trovai interessante l'applicazione di tale formula ai triangoli isosceli per i cui lati maggiori è possibile trovare la proporzione con la base, ad esempio se k è la base i lati maggiori sono certamente $tk$, con $t$ reale, ovviamente maggiore di 1 (se t = 1 il triangolo è equilatero); in tal modo, il perimetro è $P\=\ 2tk+k\ =\ k(2t+1)$ e semiperimetro: $p\ =\ k/2(2t+1)$, essendo l'area $A\ =\ sqrt(k/2(2t+1)(k/2(2t+1)-tk)^2(k/2(2t+1)-k))$. Se t è 1 (caso del triangolo equilatero) si ricava:
$A\ =\ sqrt(k/2(3)(k/2(3)-k)^3)$ e si riconosce che la $(1)$ è un caso particolare.