Esercizio arcocoseno

[TR0COMI]

Ecco l'esercizio sul quale non mi trovo, portato dal testo nella sezione "Le Formule di Bisezione", che peraltro stiamo studiando, e nel quale però non mi pare esse si debbano applicare:

$sen(1/2 arccos (4/5))$ , $cos(1/2 arcsen 3/5)$.

Occupiamoci della prima parte, la seconda poi dovrebbe venire di conseguenza.
Tutto sta, ovviamente, a sviluppare l'arcocoseno di $4/5$. So che l'arcocoseno di $4/5$ è l'angolo il cui coseno corrisponde a $4/5$. Come faccio però a sviluppare il tutto?
Finora gli esercizi affrontati con le funzioni goniometriche inverse riguardavano, tutti, gli angoli particolari, per cui era chiaro che l'arcocoseno di $1/2$ (corrispondendo all'angolo che ha come coseno $1/2$) era 60°.
Come dovrei procedere?

Grazie anticipatamente.

[Tipper]

Provo a farti il primo, il secondo te lo lascio per esercizio.

Vale $0 < \arccos(\frac{4}{5}) < \frac{\pi}{2}$, quindi $0 < \frac{1}{2} \arccos(\frac{4}{5}) < \frac{\pi}{4}$, di conseguenza $\sin(\frac{1}{2} \arccos(\frac{4}{5})) > 0$. Sfruttando le formule di bisezione, secondo cui $\sin(x) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos(2x)}{2}}$ si può scrivere

$\sin(\frac{1}{2} \arccos(\frac{4}{5})) = + \sqrt{\frac{1 - \cos(\arccos(\frac{4}{5}))}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{10}}$

Il tutto salvo errori di calcolo.

[Tul]

Forte quest'esercizio, ti dico che io (quinta liceo) non ho mai visto un esercizio così, francamente non so se mi sarebbe venuto in mente come risolverlo...pare che $arcsin$ $arccos$, per non parlare di $sec$, $cosec$ e le loro inverse, siano cadute in disuso al liceo!

[UNSUB]

Scusa Tipper, come fai a dire che $0<arccos(4/5)<90$?
Mi manca, inoltre, il passaggio dopo il tuo "di conseguenza"....si basa per caso sul fatto che, essendo l'espressione in parentesi nel I quadrante, essa ha seno positivo?

P.S. Non ci sono errori di calcolo nel tuo procedimento, il risultato è proprio $sqrt(10)/10$.

(Sono sempre io, TR0COMI, ma nell'altro account non riesco più ad entrare)

[Tipper]

Scusa Tipper, come fai a dire che $0<arccos(4/5)<90$?

L'arcocoseno è una funzione $[-1,1] \to [0, \pi]$ tale che $\arccos(x) < \frac{\pi}{2}$ se $0 \le x < 1$ e $\arccos(x) > \frac{\pi}{2}$ se $-1 \le x < 0$. Intuitivamente, un arco che ha coseno positivo o sta nel primo quadrante o nel quarto. Ma l'arcocoseno ha come codominio $[0, \pi]$, quindi l'angolo cercato deve stare per forza nel primo quadrante, ovvero $0 < \arccos(\frac{4}{5}) < \frac{\pi}{2}$.

Mi manca, inoltre, il passaggio dopo il tuo "di conseguenza"....si basa per caso sul fatto che, essendo l'espressione in parentesi nel I quadrante, essa ha seno positivo?

Sì.

[UNSUB]

Un'altra cosa: capito il tuo ragionamento per dire che l'arcocoseno è compreso tra zero e novanta gradi; potrei però arrivarci semplicemente mediante la calcolatrice, che ad $arccos (4/5)$ risponde con $36.87$ circa (ovviamente 36 è compreso tra 0 e 90)?

[Tipper]

Potresti, ma solo se hai dietro una calcolatrice.

[E-Genio]

48,851227

[Mephlip]

Moderatore: Mephlip

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