de l'hopital

[erikasala]

Quando si dimostra che Dsinx=cosx si utilizza, generalmente, il limite notevole sinx/x, già dimostrato con il teorema del confronto.Qualcuno mi ha fatto notare che non è' possibile applicare il teorema di De L'Hopital per risolvere il limite notevole sinx/x perchè derivando sinx utilizzerei il limite notevole che voglio verificare con de l'hopital (spero di essere stata chiara...). Riflettendoci concordo con tale opinione perchè effettivamente mi troverei di fronte ad un circolo "vizioso", ma, d'altra parte, il non poter applicare il terema di De L'Hopital alle funzioni sin x e x che soddisfano le condizioni imposte dal teorema stesso, mi sembra riduttivo. Potrebbe essere una soluzione quella di definire sinx mediante l'esponenziale complesso e quindi calcolarne la derivata senza usare il limite notevole sinx/x? Grazie per l'attenzione.
Erika

[lupo grigio]

cara Erika
io quesito da te posto mi dà l’occasione di riprendere un argomento che avevo iniziato sul forum generale e che aveva suscitato aspre quanto, almeno per me, immotivate polemiche. Si tratta del problema delle cosiddette ‘forme indeterminate’ delle quali, secondo la mia opinione ben intesi, si potrebbe fare a meno con notevoli benefici per tutti, salvo che per i rocciosi tradizionalisti della matematica.
In particolare il valore della funzione sinc(x)=sin x/x per x che vale 0 non è affatto una ‘forma indeterminata’ e questo lo si può facilmente constatare ricorrendo allo sviluppo i serie della funzione sin x…

sin x = x – x^3/3! + x^5/5! -… + (-1)^n*x^(2*n+1)/(2*n+1)! + ... [1]

Dividendo ciascun termine della serie [1] per x si ricava lo sviluppo della funzione sinc(x) come…

sinc(x) = sin x/x = 1 – x^2/3! + x^4/5!- … + (-1)^n*x^2*n/(2*n+1)! + ... [2]

La funzione così impostata è definita in modo univoco per ogni valore di x reale [e anche complesso]. In particolare ponendo nella [2] x=0 si ha chiaramente sinc(0)=1…

cordiali saluti!…

lupo grigio

<img src="http://utenti.lycos.it/luposabatini/wolf.gif" border=0>

[Admin]

Il circolo vizioso si può creare nell'uso degli assiomi non nella dimostrazione di un teorema.
Nel caso specifico
1° teorema: Dsinx=cosx.
Questa proposizione è vera indipendentemente dal metodo che ho usato per dimostrarla, anche perché non credo che esista un solo metodo per dimostrarla.
2° teorema lim(x->0)(sin/x)=1
E' vero indipendentemente dalla dimostrazione usata.
Nel dimostrare il teorema 2 posso applicare qualsiasi metodo.
Non è corretto in un manuale dimostrare il teorema 1 utilizzando il teorema 2 e dimostrare il teorema 2 utilizzando il teorema 1. Si crea un circolo vizioso e non si dice quale altra proposizione già dimostrata garantisce la verità di entrambi i teoremi.
Se però ci si chiede posso dimostrare il teorema 2 utilizzando in teorema 1 la risposta è affermativa.
Quindi possono applicare il teorema di De L'Hopital per calcolare il lim(sinx/x)? Sì, perché sono soddisfatte le ipotesi del teorema.
Sarò stato chiaro?


Antonio Bernardo