limiti

[jack]

help!
ho un problema:
ho il limite per n->+00 di
sqrt(n+3) - sqrt(n^(2a) -6); devo discutere i valori che assume il limite, al variare di a; il problema, è che io mi guardo gli esponenti della n, e quindi faccio le 3 ipotesi:
1/2>(2a/2)
1/2<(2a/2)
1/2=(2a/2) (ovviamente a diverso da 0..)
a questo punto il calcolo del limite diventa banale... ma tutto quello che ho fatto sopra è una cosa più intuitiva che formale; in teoria, non dovrei prima fare un po' di passaggi mantenendo la a, e solo quando ho ottenuto una formulazione più semplice del limite passare a discutere la a?
perchè ho provato a sbrogliare un po' il limite mantenendo la a incognita, ma ottengo questo:
(in tutti i passaggi sottointendo lim n->+00..)
(sqrt(n+3) -sqrt(n^(2a) -6))*[sqrt(n+3)+sqrt(n^(2a)-6)]/[sqrt(n+3)+sqrt(n^(2a) -6)]=
[n+3-n^(2a)+6]/[sqrt(n+3)+sqrt(n^(2a)-6)]=
adesso racolgo la n a numeratore e denominatore e la elimino:
1+(3/n) -n^(2a -1) /[sqrt((1/n)+(3/n^2))+sqrt(n^(2a-2) -(6/n^2))]
adesso posso eliminare i termini con la n (o n^2) al denominatore, perchè tendono a 0:
1-n^(2a-1)/sqrt(n^(2a-2))=
1-n^(2a-1)/n^(a-1)=
a questo punto passo a discutere i valori di a...però ho già delle discrepanze, quando dico "se voglio che il numeratore sia (in modulo) maggiore del denominatore, dovrò avere che anche gli esponenti devono essere: 2a-1>a-1------> a>0----> lim=-00; ma se si risolve invece con il metodo detto più sopra, si ha che il limite tende a -00, per a>1/2 (il che fra l' altro è anche vero...); quindi è giusto fare come ho fatto all' inizio (e quindi è più una cosa intuitiva che formale), o ho semplicemente sbagliato qualcosa (cosa?) nel fare passaggi?
grazie mille!

ciao

[david_e]

E' assolutamente vero che (quando n-->+00):

Codice:

 
sqrt(n+3)        ~    n^(1/2)   

sqrt(n^(2a)-6)   ~    n^(a)



E che la tua funzione va' all'infinito come:

n^(1/2) - n^(a)

Ma "+00 - 00" e' una forma indeterminata. Per cui non puoi dire a priori quale sia il limite solo su basi intuitive. I calcoli, invece, credo che siano giusti.

ciao.

[jack]

ma il problema è proprio questo! facendo i calcoli i conti non tornano, mentre andando intuitivamente sì...magari ho fatto qualche errore nei passaggi, magari mi potreste far vedere come fareste voi (senza usare tecniche troppo avanzate...perchè come si vede dal fatto che uso "n" al posto di "x", fa capire che sono ancora all' inizio...)
ciao

[david_e]

Si, guardando bene la cosa, le considerazioni "intuitive" da te scritte mi sembrano giuste. Per vederlo basta semplicemente sostituire alle varie parti della funzione degli infiniti (o infinitesimi) (a seconda di a) equivalenti come ho fatto sopra. (una tecnica che mi pare si faccia anche al liceo) ed e' una cosa perfettamente legittima. (lascia stare il commento che ho messo dopo nel vecchio post perche' non centra niente)

Se non conosci ancora questa tecnica puoi fare un po' di conti..... Se sono giusti non dovrebbero esserci discrepanze con le considerazioni da te messe all'inizio. Sinceramente non ho visto alcun errore nei tuoi conti ad una prima occhiata, comunque me li rileggero' dopo con calma.

[jack]

io avevo chiesto al mio prof se potevo semplicemente confrontare gli esponenti (e i coefficenti), ma ha posto il veto... e quindi in toeria si dovrebbe fare solo con i calcoli... però leggendo il post non mi tornano...o perlomeno, non riesco a vedere l' errore...e il problema ancora più grosso è che domani ho un compito su questa roba! diciamo che spero in bene...

ciao

[david_e]

Mah io i limiti gli ho fatti sempre cosi' anche perche' c'e' una giustificazione del perche' si puo' fare cosi'....

Comunque scusami se ti ho confuso, in effetti ho fatto un bel casino in questo topic.

[jack]

non ti preoccupare... a proposito, ho appena fatto il compito, e per fortuna è andato bene... anche per quest' anno è andata [:D]...

ciao

[david_e]

Finalmente ho capito dev'e' la fregatura nel procedimento che mi hai postato: la parte in cui dici "mando a zero i termini con n al denominatore" non e' corretta.

Te lo spiego con un esempio:

Consideriamo il limite per n-->+00 di (sottointendo lim nei passaggi):

n^50 ( 1/n - n^a )

= MANDO A ZERO 1/n

n^50 ( - n^a )

=

-n^(50+a)

Se pongo a=-1 ottengo -n^49 che ovviamente va' all'infinito (-00). Ma guardando indietro al primo passattio scopro che se a=-1 la funzione di partenza e' identicamente nulla!! (quindi non si schioda da zero).

La fregatura e' che non puoi mandare a zero quei termini fino a che non sai come si comportano quelli con a all'esponente. Infatti il mandarli a zero vuol dire che sono trascurabili rispetto alle quantita' in ballo piu' si va verso l'infinito. Ma non puoi dire che lo siano veramente visto che NON conosci le quantita' in gioco. (non sai se n^a rende trascurabile gli 1/n fino a che non conosci a).

PS: Complimenti per il compito!

Ciao!

[jack]

un grazie tendente a +00!!
finalmente ho capito dov' è che sbagliavo...per fortuna al compito non ho mandato a zero prima di aver discusso la a... quindi in teoria dovrei aver fatto giusto... poi domani saprò drilo con certezza...
intanto grazie ancora [:)]...

ciao