Ciao,
trovare il luogo dei centri delle circonferenze tangenti alla circonferenza x^2+y^2+4x+4y-8=0 e passanti per il punto B(2;2).
Grazie
Bodo86
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da Camillo » 27/08/2003, 16:26
Questa vuole essere una provocazione : nessuno risponde a Bodo ?
Io ho provato a risolverlo, ma mi sono incasinato e, almeno per ora mi ritiro.
Chi si fa sotto ?
ciao
Camillo
Io ho provato a risolverlo, ma mi sono incasinato e, almeno per ora mi ritiro.
Chi si fa sotto ?
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Camillo
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da fireball » 27/08/2003, 16:56
Forse si può risolvere con un sistema di 3 incognite.
Un fascio di circonferenze ha equazione x^2+y^2+ax+by+c=0, quindi mettendo a sistema con quella data e ponendo il discriminante = 0 si otterrebbe la prima equazione del sistema di 3 incognite.
La seconda equazione di tale sistema di tre incognite si potrebbe creare imponendo il passaggio per (2;2), e così facendo diviene 2a+2b+8+c.
Il guaio è che non riesco a trovare la terza equazione...
Comunque metto un grafico della circonferenza data per far capire meglio a tutti:
<img src="http://matfisinf.supereva.it/circ.jpg" border=0>
ciao
fireball
Un fascio di circonferenze ha equazione x^2+y^2+ax+by+c=0, quindi mettendo a sistema con quella data e ponendo il discriminante = 0 si otterrebbe la prima equazione del sistema di 3 incognite.
La seconda equazione di tale sistema di tre incognite si potrebbe creare imponendo il passaggio per (2;2), e così facendo diviene 2a+2b+8+c.
Il guaio è che non riesco a trovare la terza equazione...
Comunque metto un grafico della circonferenza data per far capire meglio a tutti:
<img src="http://matfisinf.supereva.it/circ.jpg" border=0>
ciao
fireball
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da bodo86 » 27/08/2003, 21:43
ciao,
difficile eh!!
Io ho pensato che il luogo è una parabola il cui vertice sta sulla retta y=x (la retta per il centro della crf. e per B). Il vertice deve essere equidistante da B e dalla crf. quindi ho trovato che il vertice ha coordinate V(radice di 2; radice di 2).
Chi va avanti ? ? ? ?
Grazie comunque a Camillo e a Fireball....
Ciao
Bodo
difficile eh!!
Io ho pensato che il luogo è una parabola il cui vertice sta sulla retta y=x (la retta per il centro della crf. e per B). Il vertice deve essere equidistante da B e dalla crf. quindi ho trovato che il vertice ha coordinate V(radice di 2; radice di 2).
Chi va avanti ? ? ? ?
Grazie comunque a Camillo e a Fireball....
Ciao
Bodo
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da Camillo » 28/08/2003, 19:54
Grazie all’intuizione geometrica di un amico, ho potuto trovare la soluzione del problema, arrivando finalmente alla espressione analitica del luogo cercato.
La crf. di equazione : x^2+y^2 +4x+4y –8 =0 ha come centro il punto C di coordinate ( -2 , -2 ) e raggio = 4.
Chiamo P (x,y) il generico punto del luogo cercato.
Se unisco P con C questa retta taglia la crf. nel punto che chiamerò T.
Si ha allora :
a) BP= TP perché BP e TP sono raggi della stessa crf. del fascio con centro in P e T è il punto di tangenza.
b) PC = TC + PT ( è bene fare il disegno e sarà chiaro )
Ne consegue : PC-PB = TC ; ma TC è il raggio della crf. iniziale e vale : 4.
Quindi : PC – PB = 4 ; questo ci porta subito a dire che il luogo cercato è un’iperbole .
Cerchiamone l’equazione :
sqrt( ( x+2)^2 +(y+2)^2 ) – sqrt ((x-2)^2 +(y-2)^2) =4
Facendo i conti , quadrando e spostando il radicale da una parte, si ottiene :
x+y-2 = sqrt( x^2+y^2-4x-4y+8 ) da cui si arriva al risultato finale :
xy = 2 che è l’equazione di una iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti e di vertice ( sqrt(2) , sqrt(2) ).
ciao
Camillo
La crf. di equazione : x^2+y^2 +4x+4y –8 =0 ha come centro il punto C di coordinate ( -2 , -2 ) e raggio = 4.
Chiamo P (x,y) il generico punto del luogo cercato.
Se unisco P con C questa retta taglia la crf. nel punto che chiamerò T.
Si ha allora :
a) BP= TP perché BP e TP sono raggi della stessa crf. del fascio con centro in P e T è il punto di tangenza.
b) PC = TC + PT ( è bene fare il disegno e sarà chiaro )
Ne consegue : PC-PB = TC ; ma TC è il raggio della crf. iniziale e vale : 4.
Quindi : PC – PB = 4 ; questo ci porta subito a dire che il luogo cercato è un’iperbole .
Cerchiamone l’equazione :
sqrt( ( x+2)^2 +(y+2)^2 ) – sqrt ((x-2)^2 +(y-2)^2) =4
Facendo i conti , quadrando e spostando il radicale da una parte, si ottiene :
x+y-2 = sqrt( x^2+y^2-4x-4y+8 ) da cui si arriva al risultato finale :
xy = 2 che è l’equazione di una iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti e di vertice ( sqrt(2) , sqrt(2) ).
ciao
Camillo
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da tony » 29/08/2003, 13:33
Il problema è bello, e invoglia ad ulteriori approfondimenti:
1) giustificare geometricamente l'esistenza del secondo ramo dell'iperbole.
2) risolvere lo stesso problema, ma col punto B interno al cerchio
Tony
1) giustificare geometricamente l'esistenza del secondo ramo dell'iperbole.
2) risolvere lo stesso problema, ma col punto B interno al cerchio
Tony
- tony
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