Mi date una mano?

[unkempt]

Determinare gli angoli di un triangolo ABC sapendo che l'angolo BAC è uguale al doppio dell'angolo ACB e che 2BC= sqrt3 AC.
Thanks in anticipo a chi risponderà

[Giovanni]

Ciao Unkempt.

Per il teorema dei seni
BC/sinBAC=AC/sinABC;

poiché BC=(AC*sqrt3)/2
(AC*sqrt3)/2/sin BAC=AC/sinABC
Dividendo il primo membro per sinBAC si ottiene
AC*sqrt3/2*sinBAC=AC/sinABC
Moltiplicando entrambi i membri per (2*sinBAC)*(sinABC) si ha
AC*sqrt3*sinABC=AC*2*sinBAC
Dividendo entrambi i membri per AC si ottiene
Sqrt3*sinABC=2*sinBAC
Dividendo entrambi i membri per 2 si ha
(sqrt3)/2*sinABC=sinBAC
quindi
(sqrt3)/2=sinBAC/sinABC
dato che sinABC=cosBAC
sinBAC/cosBAC=tanBAC
da qui
BAC=tan-1(sqrt3)/2=40,89°
ACB=BAC/2=20,455°
ABC=180°-BAC-ACB=180°-40,89°-20,455°=118,665°

Giovanni.

[Giovanni]

Nell'ultimo passaggio ho sbagliato a trascrivere il risultato

ABC=180°-BAC-ACB=180°-40,89°-20,455°=118,655°

Ciao.

[vecchio]

ciao a tutti!!!
emm Giovanni non so quali passaggi tu abbia fatto per poter dire che sinABC=cosBAC, ma credo che la tua soluzione sia sbagliata...
anche perchè si "vede" a occhio che si tratta di metà triangolo equilatero, in cui infatti l'altezza non è altro che l/2*sqrt3...

cmq cerco di fare un ragionamento rigoroso...usando come hai fatto tu la nostra amata trigonometria...

ho fatto anche un disegnino...può aiutare..
<img src="http://vecchio85.supereva.it/triangolo1.gif" border=0>

per comodità ho chiamato gli angoli a (alfa),b(beta),& (gamma)...scusa i simboli che uso ma non so come scrivere le lettere greche...cmq...

dunque

BC=sqrt(3)/2*AC

a=2*b

&=180-(a+b)=180-(3b)

quindi sin(&)=sin(180-3b)=sin(3b) per le proprietà dalla trigonometria..

sin(a)=sin(2b)

ora applico il teorema dei seni:

BC/sin(a)=AC/sin(&)

sostituisci:

((sqrt(3)/2)*AC)/sin(2b)=AC/sin(3b)

sqrt(3)/2=sin(2b)/sin(3b)=2*sin(b)*cos(b)/(sin(b)*(4*cos^2(b)-1))

semplifichi..

2*cos(b)/(4*cos^2(b) - 1)=sqrt(3)/2

sistemi un po' il tutto e ottieni:

4*sqrt(3)*cos^2(b) - 4*cos(b) - sqrt(3)=0

imponi cos(b)=t

4*sqrt(3)*t^2 - 4*t - sqrt(3)=0

trovi il delta/4=4+4*3=16 e risolvi l'equazione di secondo grado in t

t1=cos(b)=3/(2*sqrt(3))=sqrt(3)/2

t2=cos(b)=-1/(2*sqrt(3))=-sqrt(3)/6

la seconda soluzione però non è accettabile perchè il cos(b) deve essere positivo.

infatti: ricordando che a=2*b...

a deve essere < di 180°
quindi
2b<180

b<90

essendo b<90 il suo coseno è per forza positivo!!

dimostrato dunque che cos(b)=sqrt(3)/2

allora <b> b=pigreco/6=30°</b>

<b> a=2b=60° </b>

per differenza..

<b> &=180-a-b=90° </b>

e il problema è risolto!!!

forse hai considerato qualche caso particolare Gio'...

un saluto a tutti

il vecchio



Modificato da - vecchio il 17/09/2003 20:06:41

Modificato da - vecchio il 17/09/2003 20:13:10

[fireball]

Ciao vecchio, volevo complimentarmi con te perché hai seguito i miei consigli. Però c'è ancora qualcosa: i file bmp sono <b>molto grandi!</b>. Meglio rinominarli in jpg!! Io che ho una connessione ADSL per caricare questa pagina del forum ho impiegato circa 30 secondi!

*Come scrivere le lettere greche: lo puoi fare benissimo con Microsoft Equation che si trova in Word. Apri Word, clicca Inserisci, Oggetto, Microsoft Equation e poi capirai da solo cosa fare.
Altro modo, forse il più semplice, è quello di utilizzare il font "Symbol" che quando digiti una lettera sulla tastiera, automaticamente la trasforma nella lettera greca corrispondente; esempio: a = alfa

fireball

Modificato da - fireball il 12/09/2003 08:46:32

[Giovanni]

Ma come ho fatto a dire che sinABC=cosBAC... ah ora capisco. Sul disegno avevo tracciato l'altezza relativa alla base e quindi l'ho diviso in due triangoli rettangoli e in quel caso vale la relazione. E non per tutto ABC ma per ABH. Sarà che era tutto il pomeriggio che facevo matematica e non ci ho visto più. Infatti i risultati mi sembravano molto ma molto strani. Non ci ho fatto proprio caso che poteva essere metà triangolo equilatero.
Vecchio, mi è venuta in mente una cosa. Nel passaggio prima dell'assurdità è un caso che sin-1(sqrt3/2)sia 60?

Ciao a tutti e scusatemi.

[fireball]

Giovanni, scrivere sin non ha senso. <b>Bisogna sempre scrivere l'argomento di una funzione dopo la funzione stessa!</b> Ha senso scrivere sin 90° o sin 30°, non sin e basta. Esempio: cosa mi rappresenta, come hai scritto tu, "Nel passaggio prima dell'assurdità è un caso che sin-1(sqrt3/2)sia 60?"

fireball

[Giovanni]

Ciao a tutti.
Io la trigonometria la sto studiando da solo e da quest'estate quindi non la conosco bene. Comunque mi riferivo a sqrt3/2 come rapporto fra sinBAC/sinABC ma penso che non abbia senso lo stesso.

Ciao a tutti e scusate ancora.

[WonderP]

Scusa Fireball, ho letto che per inserire delle lettere greche usi M. Equation, quindi posso inserire nel forum anche formule con lo stesso programma? o devo salvarle come immagini e poi inserirle come tali?
Per quanto riguarda le immagini sono d'accordo che sia meglio non siano .bmp poiché molto grandi, ma oltre al .jpg c'è anche il .gif; io consiglio di salvare immagini con sfumature con .jpg mentre le immagini con scritte o grafici con .gif, provate! Ad esempio nel grafico di Derive inserito da Fireball delle funzioni con il fattoriale (non ricordo il topic) salvato in .jpg si nota un "alone" attorno alle righe, giustamente lo hai salvato ad alta compressione, se lo avessi salvato in .gif tale "alone" non ci sarebbe e lo spazio occupato sarebbe comunque poco.

Il fotoritoccatore WonderP.

[fireball]

Caro Mauro, per inserire le formule basta che prima le digiti in Equation e poi fai copia/incolla su Paint, poi salva l'immagine che ottieni in jpg o gif e copiala nel tuo spazio web. Questo è il modo migliore per scrivere chiaramente le formule sul forum, senza problemi di comprensione da parte degli utenti.

Comunque sappi che esiste un aggiornamento a Equation, si chiama MathType ed è prodotto da Design Science Software (lo puoi scaricare a www.dessci.com), che è quello che uso attualmente io, ed è molto comodo perché permette di trasformare direttamente in gif le formule scritte, e puoi aggiungere anche del testo in formato normale.

**Hai ragione, ho dovuto salvare quel grafico in massima compressione (jpg) per "alleggerire" l'apertura del topic agli altri utenti, cosa che il nostro vecchio dovrebbe imparare!

Ecco, una gif che ho creato con MathType puoi vederla in [url="https://www.matematicamente.it/forum/topic.asp?TOPIC_ID=561"]questo post[/url].

Fammi sapere cosa ne pensi.
fireball

Modificato da - fireball il 12/09/2003 16:03:39