problemi di geom analitica

[modestina87]

scusate se continuo a disturbarvi..Chiedo un ultimo aiutino con questi problemi perchè mi stanno facendo impazzire!

1)Dato il fascio di parabole y=ax^2+(1-4a)x-(1-4a), determinare:
- il luogo dei vertici delle diverse parabole del fascio;
- la relazione che deve sussistere tra i parametri a1 e a2 di due parabole del fascio affinchè intercettino corde congruenti sulla retta y=3-x

2)Scrivere l'equazione dell'iperbole, riferita agli assi e al centro, tangente alla retta 4x-y-3=0 nel punto di ascissa 1

3)Trovare l'equazione dell'ellisse riferita agli assi, inscritta nel triangolo di vertici A(-4;-2), B(0;4), C(4;-2) ed il rapporto tra l'area del triangolo dato e l'area del trapezio avente per vertici i punti di contatto dell'ellisse con i lati del triangolo, simmetrici rispetto all'asse delle y, ed i fuochi dell'ellisse.
Risultati: 3x^2+4y^2=16; 6(3-sqrt(3))

davvero tante grazie a tutti...

[fireball]

Carino il primo...
L'ascissa del vertice di una parabola di equazione y = ax^2 + bx + c è x = -b/(2a)
L'ordinata è y = (-b^2 + 4ac)/(4a)
Possiamo quindi scrivere le equazioni parametriche del luogo richiesto:
{x = (4a - 1)/(2a)
{y = (-(1 - 4a)^2 - 4a(1 - 4a))/(4a) = (4a - 1)/(4a) (dopo aver fatto alcune semplificazioni)
Ricaviamo a in funzione di x dalla prima equazione e poi la sostituiamo
nella seconda: 4a - 1 = 2ax ; 4a - 2ax = 1 ; 2a(2 - x) = 1 ; a = 1/(2(2 - x))
Inserendo questo valore di a nella seconda equazione si ottiene
l'equazione del luogo:
<b>y = (2/(2 - x) - 1)/(2/(2 - x)) = x/2</b>

[fireball]

[modestina87]

grazie mille...

[modestina87]

c'è qualcuno ke potrebbe aiutarmi kn gli altri due?

[Piera]

TERZO ESERCIZIO
l’ellisse ha equazione x^2 /a^2 + y^2 / b^2 =1
ponendo 1/a^2 =A e 1/b^2 =B otteniamo
Ax^2 + By^2=1
l’ellisse deve essere tangente al lato AC, cioè alla retta y=-2
imponiamo la condizione di tangenza (delta =0)
{ Ax^2 + By^2=1
{y=-2
Ax^2 + 4B=1 , Ax^2 + 4B-1=0
delta=0 quindi –4 A (4B-1) =0
poiché A non può essere 0 si ha B=1/4

l’equazione dell’ellisse diventa Ax^2 + y^2 /4=1
adesso occorre che l’ellisse sia tangente al lato BC, cioè alla retta BC che ha equazione y=-3/2 x + 4
mettendo come prima a sistema la retta e l’ellisse si ottiene
(16 A + 9)x^2 – 48x + 48 =0
delta =0 quindi 576-432-768 A =0 , A= 3/16
l’ellisse ha equazione 3/16 x^2 + ¼ y^2 =1 , ovvero moltiplicando tutto per 16
3 x^2 + 4y^2 = 16

il resto è facile…

SECONDO ESERCIZIO
il punto di ascissa 1, cioè x=1 deve appartenare alla retta
per cui 4-y-3=0 , y=1
adesso basta trovare , con le solite tecniche, l'equazione dell'iperbole passante per (1,1) e tangente alla retta data...

[modestina87]

scusami se insisto, ma nn so km andare avanti..
nel terzo esercizio dopo aver trovato l'equazione dell'ellisse e dopo averla messa a sistema kn le rette AB, BC e AC, trovo solo 3 punti di contatto: (0;-2) (-2;1) (2;1)
km faccio a calcolare l'area del trapezio? mi manca un vertice..

[Piera]

il testo dice che DUE vertici del trapezio sono dati dai punti di contatto dell'ellisse con i lati del triangolo simmetrici rispetto all'asse y, questo significa che dei punti di contatto devo solo prendere quelli che sono a destra e a sinistra dell'asse y, cioè
(-2,1) e (2,1)
gli altri DUE vertici devono essere i fuochi dell'ellisse

[modestina87]

Mio dio, hai ragione!!
mi sa ke mi sto rimbambendo!!
Grazie 1000!! siete stati tutti gentilissimi!!!