Ciao, avrei due quesitini da sottoporvi...
-Data la circonferenza (x^2)+(y^2)-9x-5y+14=0 trovare il luogo dei centri delle circonferenze di raggio sqrt(2) tangenti esternamente alla circonferenza data.Un triangolo equilatero è circoscritto alla circonferenza data e A è il punto di contatto di uno dei lati con la circonferenza. determinare le coordinate dei vertici..
-Determinare la misura di perimetro e area di un rombo formato dalle tangenti alle due parabole y=-2/5(x^2-8x+7) e y=2/5(x^2-8x+7) nei punti base (1;0) (7;0) nel secondo sò come procedere ma mi sa che sbaglio i calcoli...per il primo se non avete voglia di stare a calcolare potete almeno dirmi come si procede?? ciao grazie tommaso
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da goblyn » 05/10/2003, 13:01
Ciao Tommy (mio omonimo...)!
La circonferenza data si può riscrivere come:
(x-9/2)^2 + (y-5/2)^2 = (5/sqrt(2))^2
Essa ha centro in C(9/2;5/2) e raggio r=5/sqrt(2)
I centri delle circonferenze tangenti esternamente staranno evidentemente su una circonferenza di centro C. Il raggio di tale circonferenza sarà r'=r+sqrt(2)= (7/2)*sqrt(2).
L'equazione del luogo richiesto sarà dunque:
(x-9/2)^2 + (y-5/2)^2 = ((7/2)*sqrt(2))^2
<img src="http://www.elet.polimi.it/upload/frizzi/circonf.jpg" border=0>
dopodiché non ho capito bene quali sono i dati del problema. A è noto? se sì quanto vale? ha coordinate generiche?
SECONDO PROBLEMA
Prendiamo la prima parabola:
y=-2/5(x^2-8x+7)
y'=-4/5 * x + 16/5
y'(1)=12/5
Per simmetria le pendenze dei lati del rombo sono +12/5 e -12/5.
La diagonale orizzontale del rombo è chiaramente 7-1=6.
12/5 è la tangente dell'angolo formato da un lato con l'asse delle x. Consideriamo allora il triangolo rettangolo formato da due mezze diagonali e da un lato del rombo: allora la semidiagonale verticale è uguale al prodotto tra la semidiagonale orizzontale e la tangente di cui sopra.
semidiagonale verticale = (6/2) * 12/5 = 36/5
L'area è quindi: 72/5 * 6 *(1/2) = 216/5
Il lato vale: sqrt((36/5)^2 + 3^2) = 39/5
Il perimetro è quindi 39/5*4=156/5
La circonferenza data si può riscrivere come:
(x-9/2)^2 + (y-5/2)^2 = (5/sqrt(2))^2
Essa ha centro in C(9/2;5/2) e raggio r=5/sqrt(2)
I centri delle circonferenze tangenti esternamente staranno evidentemente su una circonferenza di centro C. Il raggio di tale circonferenza sarà r'=r+sqrt(2)= (7/2)*sqrt(2).
L'equazione del luogo richiesto sarà dunque:
(x-9/2)^2 + (y-5/2)^2 = ((7/2)*sqrt(2))^2
<img src="http://www.elet.polimi.it/upload/frizzi/circonf.jpg" border=0>
dopodiché non ho capito bene quali sono i dati del problema. A è noto? se sì quanto vale? ha coordinate generiche?
SECONDO PROBLEMA
Prendiamo la prima parabola:
y=-2/5(x^2-8x+7)
y'=-4/5 * x + 16/5
y'(1)=12/5
Per simmetria le pendenze dei lati del rombo sono +12/5 e -12/5.
La diagonale orizzontale del rombo è chiaramente 7-1=6.
12/5 è la tangente dell'angolo formato da un lato con l'asse delle x. Consideriamo allora il triangolo rettangolo formato da due mezze diagonali e da un lato del rombo: allora la semidiagonale verticale è uguale al prodotto tra la semidiagonale orizzontale e la tangente di cui sopra.
semidiagonale verticale = (6/2) * 12/5 = 36/5
L'area è quindi: 72/5 * 6 *(1/2) = 216/5
Il lato vale: sqrt((36/5)^2 + 3^2) = 39/5
Il perimetro è quindi 39/5*4=156/5
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da goblyn » 05/10/2003, 13:05
tanto per cambiare abbiamo risposto insieme... <img src=icon_smile.gif border=0 align=middle>
Credo tu abbia sbagliato un segno nell'espressione del delta...
Tra l'altro dimenticando che siamo nel forum medie superiori ho usato le derivate. Sorry. Meno male che c'è fireball!!!
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da Tommy » 05/10/2003, 13:57
Ok per il secondo problema, mi ostinavo su uno stupidissimo errore di calcolo, il procedimento era ok..detto questo per il primo...forse non ho ben capito la tua spiegazione ma non penso sia quello il luogo geometrico dei centri...pensavo di arrivarci prendendo una circ generica...porre la formula del raggio uguale a sqrt2 elevo al quadrato e isolo il c trovo il c in funzione di a e b, altri parametri reali dell'equazione di una circ, e butto il c appena trovato nell'equazione canonica: ho eliminato il parametro c...ora devo trovare un modo per eliminare il parametro b, sfruttando la condizione di tangenza...in modo da avere un'equazione della circonferenza con unico parametro a, trovo le cordinate dei centri in funzione di a (x=....;y=......), equazione parametrica, in una isolo la a, la sostituisco nella seconda e ottengo il luogo richiesto in equazione cartesiana......
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da Tommy » 05/10/2003, 13:59
Non ho idee per la seconda parte del primo.....A è il punto di tangenza tra la circ e un lato del triangolo equilatero...A è generico....non ò proprio come procedere lì.....Ciao grazie
Tommaso
Tommaso
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da goblyn » 05/10/2003, 14:55
Se il testo del primo è giusto allora il luogo è quello che ho scritto... Il grafico delle circonferenze l'ho fatto dopo aver calcolato l'equazione del luogo... sarebbe una strana coincidenza se il luogo fosse sbagliato e quella circonferenza verde fosse tangente esternamente alla circonferenza data!!! <img src=icon_smile_wink.gif border=0 align=middle>
Quando puoi sfruttare l'intuizione e le simmetrie è del tutto inutile imbarcarsi in conti complicati!!!
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