teorema di rolle i perchè delle ipotesi

[caseyn27]

la funzione dev'essere continua nell'intervallo chiuso perchè se l'intervallo fosse aperto potrebbe valere una discontinuità di terza specie che rende la funzione priva di punto stazionario.
Se a e b, i due estremi sono differenti allora la funzione può essere pensata come retta che non ha punti stazionari.
Ma perchè basta che la funzione sia derivabile nell'intorno aperto $(a;b)$?

[Seneca]

Ma perchè basta che la funzione sia derivabile nell'intorno aperto $(a;b)$?

Il punto è che perché la funzione sia derivabile, devi poter calcolare il limite del rapporto incrementale sia da destra che da sinistra in ciascun punto. Non potendolo fare agli estremi dell'intervallo, non ha senso dire che una funzione è derivabile in $[a , b]$.

[yellow]

Non sono d'accordo, avrebbe senso dire che è derivabile in $[a,b]$. Infatti la definizione di limite parla di intorni intersecati con il dominio: se il domino è solo a destra del punto, automaticamente si andrà a controllare la condizione soltanto per i punti lì a destra. Soltanto che, essendo sufficiente che lo sia nell'intervallo aperto, nelle ipotesi si mette quello.
Inoltre, senza questa ipotesi il teorema potrebbe non valere: pensa ad esempio a questa funzione.

[caseyn27]

e perchè è sufficiente dire che la funzione è derivabile in $(a;b)$

[caseyn27]

è una domanda

[yellow]

La dimostrazione non l'hai vista? Sfrutta il fatto che la derivata di una funzione in un punto di massimo o di minimo in un intervallo aperto è uguale a zero. Massimo e minimo esistono per Weierstrass in $[a,b]$: se almeno uno dei due è in $(a,b)$ applichi il risultato che ti ho appena detto (regola di Fermat). Per fortuna però riusciamo a dimostrare quello che ci serve anche se invece sia il massimo che il minimo sono agli estremi dell'intervallo: questa situazione infatti si presenta soltanto se la funzione è costante, e una funzione costante ha derivata ovunque nulla. La derivabilità anche in $a$ e $b$ non ci aiuterebbe perché in ogni caso non potremmo usare la regola di Fermat, che vale solo per i punti interni.

[caseyn27]

non ho studiato la regola di fermat

[yellow]

Ma la dimostrazione di Rolle l'hai fatta? Probabilmente viene dimostrato lì dentro invece che come teorema a sé stante. E in ogni caso puoi capire lo stesso quello che ho scritto!

[caseyn27]

nella dimostrazione si utilizza il fatto che, essendo la funzione derivabile nei punti interni dell'intervallo, allora il limite destro e sinistro del massimo esistono e si deduce che esso è zero per intersezione. QUindi non si considerano gli estremi perchè è superfluo nella dimostrazione?

[yellow]

Non si capisce niente di quello che hai scritto, comunque penso che quella sia proprio la regola (o teorema) di Fermat.
Esatto, non si considerano nella derivabilità perché non ce n'è bisogno, e neanche semplificherebbero la dimostrazione. L'unico effetto sarebbe quello (sgradito) di restringere l'insieme delle funzioni che soddisfano le ipotesi: ad esempio non si potrebbe applicare il teorema a questa semicirconferenza, perchè non è derivabile agli estremi.