Dimostrazione formule di sdoppiamento ellisse?

[manu.shaq]

Mi servirebbe la dimostrazione delle formule di sdoppiamento per quanto riguarda l'ellisse, anche traslata se possibile, perchè ho provato a farla considerando il sistema tra y-y0=m(x-x0) e l'equazione dell'ellisse traslata ma non mi riesce.. Grazie in anticipo!

[giammaria]

Speravo che ti rispondesse qualcuno più in gamba di me, magari con un link alla soluzione già confezionata. Poiché non è successo, ti mando il modo in cui lo dimostrerei io. Mi riferisco non alla sola ellisse ma ad una conica qualsiasi.

Caso particolare: la conica passa per l'origine e vogliamo la tangente nell'origine.
L'equazione della generica conica passante per l'origine manca del termine noto e quindi è
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=0$
Intersecandola con la retta $y=mx$ ottengo
$x^2(a+bm+cm^2)+x(d+me)=0$
il cui discriminante è nullo se
$d+me=0->m=-d/e$
La tangente cercata è quindi
$y=-d/e x->dx+ey=0$
In altri termini, l'equazione della tangente cercata è data dall'annullarsi dei termini di primo grado. Supponiamo che ce ne siano; in caso contrario la conica sarebbe degenere.

Caso generale
La generica conica ha equazione
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
e vogliamo la tangente in un suo punto $P(u,v)$. Poiché $P$ sta sulla conica avremo
(*) $au^2+buv+cv^2+du+ev+f=0$
Effettuiamo la traslazione che porta il punto nell'origine, cioè
${(x=X+u),(y=Y+v):}$
e facciamo i calcoli: la somma dei termini noti deve annullarsi e infatti è il primo membro della (*), mentre (per il caso particolare) la tangente cercata è data dall'annullarsi dei termini di primo grado e quindi è
$2auX+b(vX+uY)+2cvY+dX+eY=0$
Dividiamo per 2, torniamo alle coordinate originali e sommiamo la (*):
$au(x-u)+b/2[v(x-u)+u(y-v)]+cv(y-v)+d/2(x-u)+e/2(y-v)+au^2+buv+cv^2+du+ev+f=0$
Facciamo i calcoli, ordinando secondo le lettere $a,b,c...$: otteniamo la formula dello sdoppiamento.

[manu.shaq]

Grazie mille ! Proverò a rifarla col tuo metodo

[madmath]

In generale la retta tangente ha equazione A(x-a)+B(y-b) dove P(a,b) è il punto di tangenza,
A e B rappresentano le derivate parziali calcolate nel punto di tangenza P.

[@melia]

In generale la retta tangente ha equazione A(x-a)+B(y-b) dove P(a,b) è il punto di tangenza,
A e B rappresentano le derivate parziali calcolate nel punto di tangenza P.

Lascia stare, hai sbagliato area. Qui stiamo parlando di scuola secondaria.

[axpgn]

Lascia stare, hai sbagliato area. Qui stiamo parlando di scuola secondaria.

Non ne sarei così sicuro, ...

... Effettivamente io tendo a sviluppare una didattica da triennale universitaria (dato il livello pietoso dell'università italiana...) già in prima superiore ...

[giammaria]

Non avevo letto la frase citata (evidentemente postata altrove). e cioè

... Effettivamente io tendo a sviluppare una didattica da triennale universitaria (dato il livello pietoso dell'università italiana...) già in prima superiore ...

In sé, sarebbe un'ottima cosa, ma gli allievi riescono a seguire? Ad esempio, vediamo qui: secondo me, un allievo che non abbia mai sentito nominare le derivate non può capire le frasi

In generale la retta tangente ha equazione A(x-a)+B(y-b) dove P(a,b) è il punto di tangenza,
A e B rappresentano le derivate parziali calcolate nel punto di tangenza P.

[gugo82]

In generale la retta tangente ha equazione A(x-a)+B(y-b) dove P(a,b) è il punto di tangenza,
A e B rappresentano le derivate parziali calcolate nel punto di tangenza P.

Ma quella scritta non è l’equazione di una retta... Al massimo è un polinomio in due variabili.

[teorema55]

Penso che madmath intendesse

$A(x-a)+B(y-b)=0$

Ma la mia domanda da raddrizzatore di banane è: cosa significa "sdoppiamento di una conica"?

Grazie in anticipo a chi vorrà colmare questa mia lacuna.

Marco

[giammaria]

Ma la mia domanda da raddrizzatore di banane è: cosa significa "sdoppiamento di una conica"?

Significa che inizialmente ogni lettera viene pensata scritta due volta, e quindi raddoppiata. Nel caso più generale, una conica ha equazione
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
e raddoppiamo le lettere pensandola scritta come
$ax*x+b/2(xy+xy)+cy*y+d/2(x+x)+e/2(y+y)+f=0$
Ora sdoppiamo, sostituendo ad una delle x la x del punto, e così per y, con la precisazione che nel pezzo con $xy$ le due sostituzioni vanno fatte una per addendo. Se il punto è $P(u,v)$ otteniamo
$au*x+b/2(uy+xv)+cv*y+d/2(x+u)+e/2(y+v)+f=0$

Ti faccio presente che non ho fatto ipotesi sulla posizione di P, che può essere in punto qualsiasi; in ogni caso ottieni l'equazione di una retta, che è detta la polare di P rispetto a quella conica. Le polari hanno proprietà particolari, che si studiano a livello universitario; nelle superiori di solito ci si limita a dire che se P sta sulla conica, la sua polare è la tangente in P.
In qualche caso particolare, la polare ha un'equazione senza incognite (e quindi indeterminata o impossibile), ma anche questo è argomento universitario.